Witajcie! potrzebuje bardzo pilnie rozwiązanie zadania!
Oto one:
Mamy trójkąt równoramienny o kątach przy podstawie 72 stopnie. z kata 72 rysujemy dwusieczna kąta.
trójkąt powstały z narysowania dwusiecznej jest podobny do duzego trójkąta.
Na podstawie tego mam policzyć \(\displaystyle{ sinus}\) \(\displaystyle{ cosinus}\) \(\displaystyle{ tangens}\) \(\displaystyle{ cotangens}\) 18, 36, 72 stopni.
rysunek pogladowy:
prosze o pomoc.
Sin.cos.tg.ctg 18, 36, 72 stopni w trójkącie równoramiennym
-
rubik1990
- Użytkownik
- Posty: 520
- Rejestracja: 28 sty 2009, o 19:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 86 razy
Sin.cos.tg.ctg 18, 36, 72 stopni w trójkącie równoramiennym
Niech \(\displaystyle{ c}\) będzie długością ramienia dużego trójkąta oraz \(\displaystyle{ y}\) długością podstawy mniejszego trójkąta. Wtedy z własności podobieństwa (dorysuj sobie wysokości jeżeli nie widzisz):
\(\displaystyle{ \frac{\frac{y}{2}}{x}=\frac{\frac{x}{2}}{c} \Rightarrow \left(* \right) y=\frac{x^2}{c}}\)
Z twierdzenia cosinusów dla odpowiednich trójkątów (jakich?) mamy
\(\displaystyle{ \left( **\right) y^{2}=2x^{2}-2x^{2}cos36^{\circ}}\)
oraz \(\displaystyle{ c^{2}=c^{2}+x^{2}-2cxcos72^{\circ} \Rightarrow c=\frac{x}{2cos72^{\circ}}}\)
Postawiając do \(\displaystyle{ \left( *\right)}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ y=2xcos72^{\circ}}\) i znów wstawiając do równości \(\displaystyle{ \left(**\right) \\}\) mamy
\(\displaystyle{ 4x^{2}cos^{2}72^{\circ}=2x^{2}-2x^{2}cos36^{\circ} \Rightarrow 2cos^{2}72^{\circ}=1-cos36^{\circ}}\)
Po użyciu wzoru na kosinus podwojonego kąta i podstawieniu \(\displaystyle{ t=cos36^{\circ}}\) otrzymujemy równanie
\(\displaystyle{ 2(2t^{2}-1)^{2}=1-t \Leftrightarrow 8t^{4}-8t^{2}+t+1=0 \Leftrightarrow 8t^{2}(t^{2}-1)+t+1=0 \Leftrightarrow (t+1)(8t^{3}-8t^{2}+1)=0}\).
Dalej po zauważeniu, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) jest pierwiastkiem tego równania i po podzieleniu np. schematem Hornera otrzymujemy
\(\displaystyle{ (t+1)(t-\frac{1}{2})(8t^{2}-4t-2)=0}\)
Rozwiązujesz to równanie i wyciągasz wniosek, że
\(\displaystyle{ cos36^{\circ}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}}\) (czemu?)
Pozostałe wartości znacznie łatwiej jest wyliczyć. Pisz w razie wątpliwości.
\(\displaystyle{ \frac{\frac{y}{2}}{x}=\frac{\frac{x}{2}}{c} \Rightarrow \left(* \right) y=\frac{x^2}{c}}\)
Z twierdzenia cosinusów dla odpowiednich trójkątów (jakich?) mamy
\(\displaystyle{ \left( **\right) y^{2}=2x^{2}-2x^{2}cos36^{\circ}}\)
oraz \(\displaystyle{ c^{2}=c^{2}+x^{2}-2cxcos72^{\circ} \Rightarrow c=\frac{x}{2cos72^{\circ}}}\)
Postawiając do \(\displaystyle{ \left( *\right)}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ y=2xcos72^{\circ}}\) i znów wstawiając do równości \(\displaystyle{ \left(**\right) \\}\) mamy
\(\displaystyle{ 4x^{2}cos^{2}72^{\circ}=2x^{2}-2x^{2}cos36^{\circ} \Rightarrow 2cos^{2}72^{\circ}=1-cos36^{\circ}}\)
Po użyciu wzoru na kosinus podwojonego kąta i podstawieniu \(\displaystyle{ t=cos36^{\circ}}\) otrzymujemy równanie
\(\displaystyle{ 2(2t^{2}-1)^{2}=1-t \Leftrightarrow 8t^{4}-8t^{2}+t+1=0 \Leftrightarrow 8t^{2}(t^{2}-1)+t+1=0 \Leftrightarrow (t+1)(8t^{3}-8t^{2}+1)=0}\).
Dalej po zauważeniu, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) jest pierwiastkiem tego równania i po podzieleniu np. schematem Hornera otrzymujemy
\(\displaystyle{ (t+1)(t-\frac{1}{2})(8t^{2}-4t-2)=0}\)
Rozwiązujesz to równanie i wyciągasz wniosek, że
\(\displaystyle{ cos36^{\circ}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}}\) (czemu?)
Pozostałe wartości znacznie łatwiej jest wyliczyć. Pisz w razie wątpliwości.