Oblicz sume stu najmniejszych dodatnich rozwiazan rownania s

[orzi]

Oblicz sume stu najmniejszych dodatnich rozwiazan rownania \(\displaystyle{ \sin^{3}x=\sin x}\)

[Althorion]

\(\displaystyle{ \sin^{3}x=\sin x \\
\sin^3 x - \sin x = 0 \\
\sin x (\sin^2 x - 1) = 0 \\
(\sin x - 1) \sin x (\sin x + 1)}\)

[orzi]

i co dalej??

[Althorion]

\(\displaystyle{ (\sin x - 1) \sin x (\sin x + 1) = 0 \Leftrightarrow \sin x = -1 \vee \sin x = 0 \vee \sin x = 1}\)
Teraz sprawdzasz, dla jakich liczb jest to spełnione i sumujesz. Wiesz jak?

[orzi]

nie do konca

[Althorion]

Najmniejszym dodatnim rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{2}}\), pozostałymi - jego wielokrotności. Więc mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym, gdzie:
\(\displaystyle{ a_1 = \frac{\pi}{2} \\ r = \frac{\pi}{2}}\)
A trzeba nam policzyć:
\(\displaystyle{ S_{100} = 99 \frac{2a_1 + 99\cdot r}{2} = 99 \frac{2\cdot \frac{\pi}{2} + 99\cdot \frac{\pi}{2}}{2}}\)

[orzi]

wielkie dzieki