Udowodnij, że suma kwadratów tych tangensów wynosi 14

[elsmd]

Witam.
Mam udowodnić, że
\(\displaystyle{ tg^{2} 15 + tg ^{2} 75 = 14}\)

Doszedłem do:
\(\displaystyle{ \frac{sin ^{2} 15 }{ cos ^{2} 15 } + \frac{sin ^{2} 75}{cos ^{2} 75} = 14}\)

\(\displaystyle{ sin ^{2} 15 * cos ^{2} 75 + sin ^{2} 75 * cos ^{2} 15 = 14 * cos ^{2} 15 * cos ^{2} 75}\)

Co mam zrobić z tymi kwadratami po lewej stronie?
Myślę, że coś ze wzorem \(\displaystyle{ sin(x-y) = sinx*cosy - siny * cosx}\) tylko co?

[mizera03]

może \(\displaystyle{ sin(x-y) = sinx*cosy - siny * cosx}\) trzeba to wykorzystać do tego, że:
\(\displaystyle{ 90-15=75}\) a więc \(\displaystyle{ sin(90-15)=....}\).

[elsmd]

Tak, tyle, że te sinusy i cosinusy w równaniu są podniesione do kwadratu. I nie wiem, jak to podnieść we wzorze.

[wszamol]

\(\displaystyle{ sin ^{2} (15)=(sin(15)) ^{2}}\)

czyli liczysz wartość i podnosisz do kwadratu, analogicznie z cosinusami

[elsmd]

A czy wtedy wzór nie wyglądałby tak:

\(\displaystyle{ sin ^{2} (x+y) = (sinx*cosy + siny * cosx) ^{2}}\)

, dalej rozpisany zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia?

[wszamol]

jeśli wolisz pracować na literkach to możesz tak zrobić, pytanie tylko czy to nie będzie więcej pracy. Ale to już jak chcesz, wynik powinien wyjść ten sam

[elsmd]

wszamol, mógłbyś mi napisać, w jaki sposób podstawić tą lewą stronę do wzoru, bo mi się wydaje, że się nie da (za mało danych)

[wszamol]

troszkę nie rozumiem Twojego pytania, więc może dam Ci inną wskazówkę:

\(\displaystyle{ tg^{2} 15 + tg ^{2} 75=( \frac{sin(45-30)}{cos(45-30)}) ^{2} + ( \frac{sin(45+30)}{cos(45+30)}) ^{2}=...}\)

[elsmd]

Dzięki. Moje rozumowanie było błędne.