Wyznacz dziedzinę funkcji

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
adri@n
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 104
Rejestracja: 6 wrz 2009, o 14:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 5 razy

Wyznacz dziedzinę funkcji

Post autor: adri@n »

Witam, mam problem z takim zadaniem:

Wyznacz dziedzinę funkcji
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{3}{\sqrt{\sqrt{3}-2sin(x)}}}\)

Nie wiem, w ogóle jak się do tego zabrać.
Prosiłbym o rozpisanie tego krok po kroku.
rodzyn7773
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1659
Rejestracja: 12 lip 2009, o 10:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice/Rawa Maz.
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 278 razy

Wyznacz dziedzinę funkcji

Post autor: rodzyn7773 »

Jedyne co trzeba wziąć pod uwagę to wartość pod pierwiastkiem i mianownik:
\(\displaystyle{ \sqrt{3} -2sinx>0}\)
Do rozwiązania.
adri@n
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 104
Rejestracja: 6 wrz 2009, o 14:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 5 razy

Wyznacz dziedzinę funkcji

Post autor: adri@n »

Tylko jeszcze nie wiem czy:
\(\displaystyle{ sin(x)<\frac{\Pi}{3}}\)

\(\displaystyle{ sin(x)<\frac{\Pi}{6}}\)

Bo wychodzi że \(\displaystyle{ sin(x)<\frac{\sqrt{3}}{2}}\)-- 11 kwi 2010, o 16:32 --Bardzo proszę o pomoc, ponieważ piszę jutro z tego sprawdzian i muszę to wiedzieć
rodzyn7773
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1659
Rejestracja: 12 lip 2009, o 10:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice/Rawa Maz.
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 278 razy

Wyznacz dziedzinę funkcji

Post autor: rodzyn7773 »

\(\displaystyle{ sin(x)<\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Jak nie masz jeszcze dobrego obycia z nierównościami trygonometrycznymi to warto narysować sobie wykres. To na pewno pomoże.
Tak więc najpierw rysujesz w układzie współrzędnych wykres funkcji sinus najlepiej w przedziale \(\displaystyle{ <0,2 \pi>}\) a następnie prostą \(\displaystyle{ y= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\). Określasz dla jakich argumentów funkcja sinus przyjmuje wartość \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) a resztę odczytasz z wykresu.
adri@n
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 104
Rejestracja: 6 wrz 2009, o 14:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 5 razy

Wyznacz dziedzinę funkcji

Post autor: adri@n »

Dzięki ci mistrzu
Naprawdę bardzo mi pomogłeś.

Mam jeszcze jedno zadanie, i też byłbym bardzo wdzięczny za pomoc:

Należy rozwiązać takie równanie:
\(\displaystyle{ 2sin(x-\frac{\pi}{6})=1}\)
Czy pod taką treścią zadania mam rozumieć, że co trzeba obliczyć?
Ile wynosi \(\displaystyle{ sin(x)}\) ?

Nie było mnie na większość lekcji z trygonometrii i stąd takie problemy...
rodzyn7773
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1659
Rejestracja: 12 lip 2009, o 10:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice/Rawa Maz.
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 278 razy

Wyznacz dziedzinę funkcji

Post autor: rodzyn7773 »

Nie. Należy znaleźć x.
adri@n
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 104
Rejestracja: 6 wrz 2009, o 14:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 5 razy

Wyznacz dziedzinę funkcji

Post autor: adri@n »

Czyli to będzie tak:

\(\displaystyle{ 2sin(x-\frac{\pi}{6}) = 1}\)

\(\displaystyle{ sin(x-\frac{\pi}{6}) =\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ sin(x)-sin(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ sin(x)-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ sin(x)=1}\)

Czyli teraz przeprowadzamy prostą przez \(\displaystyle{ y=1}\) i jako x uznajemy miejsca w których wykres \(\displaystyle{ sin(x)}\) przecina się z prostą \(\displaystyle{ y=1}\)?
rodzyn7773
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1659
Rejestracja: 12 lip 2009, o 10:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice/Rawa Maz.
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 278 razy

Wyznacz dziedzinę funkcji

Post autor: rodzyn7773 »

Uuu. Zupełnie nie tak. Nie możesz zapisać:
\(\displaystyle{ sin(x- \frac{\pi}{6})= sinx-sin\frac{\pi}{6}}\)

Rozwiązanie powinno wyglądać tak:
\(\displaystyle{ sin(x+ \frac{\pi}{6} )= \frac{1}{2}}\)
Podstawmy:
\(\displaystyle{ t=x+ \frac{\pi}{6}}\)
Rozwiązujemy dalej:
\(\displaystyle{ sint=\frac{1}{2} \\ t= \frac{\pi}{6}+2k \pi \vee t= \frac{5}{6} \pi +2k \pi}\)

Teraz podstawiamy z powrotem:
\(\displaystyle{ t=x+ \frac{\pi}{6}}\)
I otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x+ \frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+2k \pi \vee x+ \frac{\pi}{6}=\frac{5}{6} \pi +2k \pi \\ x=2k \pi \vee x= \frac{2}{3} \pi +2k \pi}\)
\(\displaystyle{ k \in C}\)
adri@n
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 104
Rejestracja: 6 wrz 2009, o 14:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 5 razy

Wyznacz dziedzinę funkcji

Post autor: adri@n »

Oki, spróbuję zrobić jeszcze kilka przykładów, według tego.
Serdecznie dziękuję i pozdrawiam
ODPOWIEDZ