Ograniczoność iloczynu sin i cos, wielomian st. 3

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podziękował: 352 razy
Pomógł: 33 razy

Ograniczoność iloczynu sin i cos, wielomian st. 3

Post autor: patry93 »

Witam.

Mamy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=sinx cos2x}\). Należy znaleźć takie \(\displaystyle{ m \ i \ M}\) (możliwie najlepsze ), że dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(x) \le M \ i \ f(x) \ge m}\).
Oczywiście mamy \(\displaystyle{ -1 \le sinx \le 1 \ i \ -1 \le cosx \le 1}\) dla każdego iksa, więc kandydatami mogą z pewnością być \(\displaystyle{ m=-1 \cdot 1 = -1 , \ M=1 \cdot 1 = 1}\)
Po zrobieniu wykresu widać, że te ograniczenia są najsilniejsze, lecz jak to pokazać formalnie?
Próbowałem rozpisać tak: \(\displaystyle{ f(x)=sinx(1-2sin^2x)=sinx-2sin^3x}\)
Następnie przyjąć \(\displaystyle{ t=sinx}\) i miałbym wielomian stopnia 3. u którego należy zbadać zbiór wartości w przedziale \(\displaystyle{ [ -1 ; 1]}\), ale jeżeli się nie mylę, do tego należy użyć pochodnych (pomijam patrzenie na wykres), a podejrzewam, że istnieje prostszy sposób, lecz go nie widzę.
Awatar użytkownika
Yaco_89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 992
Rejestracja: 1 kwie 2008, o 00:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tychy/Kraków
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 204 razy

Ograniczoność iloczynu sin i cos, wielomian st. 3

Post autor: Yaco_89 »

A nie wystarczy po prostu pokazać, że oba ograniczenia są osiągane w nieskończenie wielu punktach? Tak jak napisałeś, można łatwo pokazać że \(\displaystyle{ |f(x)| \le 1}\) więc jak podasz takie zbiory punktów, w których funkcja przyjmuje odpowiednio -1 i 1 to będzie już raczej jasne, że te ograniczenia są najsilniejsze.
Ostatnio zmieniony 11 kwie 2010, o 14:13 przez Yaco_89, łącznie zmieniany 1 raz.
patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podziękował: 352 razy
Pomógł: 33 razy

Ograniczoność iloczynu sin i cos, wielomian st. 3

Post autor: patry93 »

Ale czy to będzie dowodzić, że tych ograniczeń nie da się wzmocnić?
Awatar użytkownika
Yaco_89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 992
Rejestracja: 1 kwie 2008, o 00:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tychy/Kraków
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 204 razy

Ograniczoność iloczynu sin i cos, wielomian st. 3

Post autor: Yaco_89 »

No skoro funkcja osiąga swoje kresy to raczej nie bardzo nie może istnieć np. ograniczenie górne mniejsze od 1, skoro funkcja osiąga wartość 1 w punktach postaci \(\displaystyle{ \frac{3 \pi}{2}+2k \pi}\), bo mamy sprzeczność z definicją ograniczenia. Można by ewentualnie skorzystać z ciągłości funkcji i pokazać, że dla każdego \(\displaystyle{ \epsilon >0}\) istnieje takie x, że \(\displaystyle{ f(x)+\epsilon > 1}\) ale nie wiem czy jest to potrzebne, to co napisałem wg. mnie wystarczy.
patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podziękował: 352 razy
Pomógł: 33 razy

Ograniczoność iloczynu sin i cos, wielomian st. 3

Post autor: patry93 »

Ok, zgadzam się, ale jedno mnie ciekawi - czy na pewno łatwiej jest znaleźć te punkty (np. Twoje \(\displaystyle{ \frac{3 \pi}{2}+2k \pi}\) ) niż spałować pochodnymi? Szczerze mówiąc, nie wiem jak w miarę prosto można by właśnie takie punkty znaleźć
Awatar użytkownika
Yaco_89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 992
Rejestracja: 1 kwie 2008, o 00:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tychy/Kraków
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 204 razy

Ograniczoność iloczynu sin i cos, wielomian st. 3

Post autor: Yaco_89 »

nie wiem czy nie byłoby prościej pałować pochodnymi, to w sumie zależy co kto woli... zauważ, że punktów w których funkcja MOŻE osiągać wartość 1 lub -1 jest niewiele, wystarczy sprawdzić te z przedziału \(\displaystyle{ (0,2\pi)}\) w których sinus lub cosinus osiągają skrajne wartości, bo w każdym innym punkcie biorąc iloczyn \(\displaystyle{ \sin x \cos 2x}\) mamy przynajmniej 1 składnik o wartości bezwzględnej mniejszej od 1. Czyli raptem... 4 punkty? No a potem wiadomo, korzystamy z okresowości. Licząc pochodnymi byłoby jakieś równanie trygonometryczne, raczej też nieprzesadnie trudne (nie chce mi się rozpisywać) ale chyba troszkę więcej rachunków by było.
patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podziękował: 352 razy
Pomógł: 33 razy

Ograniczoność iloczynu sin i cos, wielomian st. 3

Post autor: patry93 »

Ok, dzięki.
Licząc pochodnymi byłoby jakieś równanie trygonometryczne, raczej też nieprzesadnie trudne (nie chce mi się rozpisywać) ale chyba troszkę więcej rachunków by było.
No... nie, bo właśnie pokazałem, że wystarczy zbadać \(\displaystyle{ -2t^3+t , \ t \in [-1 ; 1], \ \text{bo } t=sinx}\), więc nie aż tak źle
Awatar użytkownika
Yaco_89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 992
Rejestracja: 1 kwie 2008, o 00:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tychy/Kraków
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 204 razy

Ograniczoność iloczynu sin i cos, wielomian st. 3

Post autor: Yaco_89 »

Wiesz co, to ja na Twoim miejscu po prostu przeliczyłbym jednym i drugim sposobem i zdecydował który mi bardziej odpowiada, chyba zajmie to mniej czasu niż dalsza dyskusja na forum
ODPOWIEDZ