Ograniczoność iloczynu sin i cos, wielomian st. 3
-
- Użytkownik
- Posty: 1251
- Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
- Podziękował: 352 razy
- Pomógł: 33 razy
Ograniczoność iloczynu sin i cos, wielomian st. 3
Witam.
Mamy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=sinx cos2x}\). Należy znaleźć takie \(\displaystyle{ m \ i \ M}\) (możliwie najlepsze ), że dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(x) \le M \ i \ f(x) \ge m}\).
Oczywiście mamy \(\displaystyle{ -1 \le sinx \le 1 \ i \ -1 \le cosx \le 1}\) dla każdego iksa, więc kandydatami mogą z pewnością być \(\displaystyle{ m=-1 \cdot 1 = -1 , \ M=1 \cdot 1 = 1}\)
Po zrobieniu wykresu widać, że te ograniczenia są najsilniejsze, lecz jak to pokazać formalnie?
Próbowałem rozpisać tak: \(\displaystyle{ f(x)=sinx(1-2sin^2x)=sinx-2sin^3x}\)
Następnie przyjąć \(\displaystyle{ t=sinx}\) i miałbym wielomian stopnia 3. u którego należy zbadać zbiór wartości w przedziale \(\displaystyle{ [ -1 ; 1]}\), ale jeżeli się nie mylę, do tego należy użyć pochodnych (pomijam patrzenie na wykres), a podejrzewam, że istnieje prostszy sposób, lecz go nie widzę.
Mamy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=sinx cos2x}\). Należy znaleźć takie \(\displaystyle{ m \ i \ M}\) (możliwie najlepsze ), że dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(x) \le M \ i \ f(x) \ge m}\).
Oczywiście mamy \(\displaystyle{ -1 \le sinx \le 1 \ i \ -1 \le cosx \le 1}\) dla każdego iksa, więc kandydatami mogą z pewnością być \(\displaystyle{ m=-1 \cdot 1 = -1 , \ M=1 \cdot 1 = 1}\)
Po zrobieniu wykresu widać, że te ograniczenia są najsilniejsze, lecz jak to pokazać formalnie?
Próbowałem rozpisać tak: \(\displaystyle{ f(x)=sinx(1-2sin^2x)=sinx-2sin^3x}\)
Następnie przyjąć \(\displaystyle{ t=sinx}\) i miałbym wielomian stopnia 3. u którego należy zbadać zbiór wartości w przedziale \(\displaystyle{ [ -1 ; 1]}\), ale jeżeli się nie mylę, do tego należy użyć pochodnych (pomijam patrzenie na wykres), a podejrzewam, że istnieje prostszy sposób, lecz go nie widzę.
- Yaco_89
- Użytkownik
- Posty: 992
- Rejestracja: 1 kwie 2008, o 00:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tychy/Kraków
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 204 razy
Ograniczoność iloczynu sin i cos, wielomian st. 3
A nie wystarczy po prostu pokazać, że oba ograniczenia są osiągane w nieskończenie wielu punktach? Tak jak napisałeś, można łatwo pokazać że \(\displaystyle{ |f(x)| \le 1}\) więc jak podasz takie zbiory punktów, w których funkcja przyjmuje odpowiednio -1 i 1 to będzie już raczej jasne, że te ograniczenia są najsilniejsze.
Ostatnio zmieniony 11 kwie 2010, o 14:13 przez Yaco_89, łącznie zmieniany 1 raz.
- Yaco_89
- Użytkownik
- Posty: 992
- Rejestracja: 1 kwie 2008, o 00:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tychy/Kraków
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 204 razy
Ograniczoność iloczynu sin i cos, wielomian st. 3
No skoro funkcja osiąga swoje kresy to raczej nie bardzo nie może istnieć np. ograniczenie górne mniejsze od 1, skoro funkcja osiąga wartość 1 w punktach postaci \(\displaystyle{ \frac{3 \pi}{2}+2k \pi}\), bo mamy sprzeczność z definicją ograniczenia. Można by ewentualnie skorzystać z ciągłości funkcji i pokazać, że dla każdego \(\displaystyle{ \epsilon >0}\) istnieje takie x, że \(\displaystyle{ f(x)+\epsilon > 1}\) ale nie wiem czy jest to potrzebne, to co napisałem wg. mnie wystarczy.
-
- Użytkownik
- Posty: 1251
- Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
- Podziękował: 352 razy
- Pomógł: 33 razy
Ograniczoność iloczynu sin i cos, wielomian st. 3
Ok, zgadzam się, ale jedno mnie ciekawi - czy na pewno łatwiej jest znaleźć te punkty (np. Twoje \(\displaystyle{ \frac{3 \pi}{2}+2k \pi}\) ) niż spałować pochodnymi? Szczerze mówiąc, nie wiem jak w miarę prosto można by właśnie takie punkty znaleźć
- Yaco_89
- Użytkownik
- Posty: 992
- Rejestracja: 1 kwie 2008, o 00:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tychy/Kraków
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 204 razy
Ograniczoność iloczynu sin i cos, wielomian st. 3
nie wiem czy nie byłoby prościej pałować pochodnymi, to w sumie zależy co kto woli... zauważ, że punktów w których funkcja MOŻE osiągać wartość 1 lub -1 jest niewiele, wystarczy sprawdzić te z przedziału \(\displaystyle{ (0,2\pi)}\) w których sinus lub cosinus osiągają skrajne wartości, bo w każdym innym punkcie biorąc iloczyn \(\displaystyle{ \sin x \cos 2x}\) mamy przynajmniej 1 składnik o wartości bezwzględnej mniejszej od 1. Czyli raptem... 4 punkty? No a potem wiadomo, korzystamy z okresowości. Licząc pochodnymi byłoby jakieś równanie trygonometryczne, raczej też nieprzesadnie trudne (nie chce mi się rozpisywać) ale chyba troszkę więcej rachunków by było.
-
- Użytkownik
- Posty: 1251
- Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
- Podziękował: 352 razy
- Pomógł: 33 razy
Ograniczoność iloczynu sin i cos, wielomian st. 3
Ok, dzięki.
No... nie, bo właśnie pokazałem, że wystarczy zbadać \(\displaystyle{ -2t^3+t , \ t \in [-1 ; 1], \ \text{bo } t=sinx}\), więc nie aż tak źleLicząc pochodnymi byłoby jakieś równanie trygonometryczne, raczej też nieprzesadnie trudne (nie chce mi się rozpisywać) ale chyba troszkę więcej rachunków by było.
- Yaco_89
- Użytkownik
- Posty: 992
- Rejestracja: 1 kwie 2008, o 00:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tychy/Kraków
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 204 razy
Ograniczoność iloczynu sin i cos, wielomian st. 3
Wiesz co, to ja na Twoim miejscu po prostu przeliczyłbym jednym i drugim sposobem i zdecydował który mi bardziej odpowiada, chyba zajmie to mniej czasu niż dalsza dyskusja na forum