(Nie)parzystość cosinusa zmodyfikowanego

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podziękował: 352 razy
Pomógł: 33 razy

(Nie)parzystość cosinusa zmodyfikowanego

Post autor: patry93 »

Witam.

Jak poprawnie zbadać, czy funkcja \(\displaystyle{ f(x)=cos( \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} )}\) jest parzysta albo nieparzysta?
Tzn. licząc \(\displaystyle{ f(-x)=cos( - \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6})}\) powiedzmy, że widać, iż nie będzie to to samo, co \(\displaystyle{ f(x)}\) i czy można na tym zaprzestać, czy należy to formalnie udowodnić?
Jeżeli trzeba udowodnić, czy można zrobić to w ten sposób (badam, co musi zajść, aby ta funkcja była parzysta i próbuję dojść do sprzeczności):
\(\displaystyle{ f(x)=f(-x) \Leftrightarrow cos( \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} ) = cos( - \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}) \Leftrightarrow (\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = - \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} + 2k \pi \ \vee \ \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = - (- \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}) + 2k \pi ) \Leftrightarrow (x=3k \pi \ \vee \ \pi = 6k \pi) , \ k \in \mathbb{Z}}\)
Stąd otrzymujemy sprzeczność, gdyż pierwsza możliwość nie zachodzi w szczególności np. dla \(\displaystyle{ x=k}\), a druga daje sprzecz. z \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\), więc \(\displaystyle{ f(x)}\) nie jest parzysta.
Dobrze? Oraz czy można to zrobić w inny sposób?

Nie będę pisał może jak dowodziłem, że \(\displaystyle{ f(x)}\) nie jest nieparzysta, bo wygląda bardzo podobnie, ale o jedno zapytam - zapisałem \(\displaystyle{ -f(-x)}\) jako \(\displaystyle{ cos ( \pi + \frac{x}{3} - \frac{\pi}{6})}\) - czy można tak?
Awatar użytkownika
miki999
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

(Nie)parzystość cosinusa zmodyfikowanego

Post autor: miki999 »

i czy można na tym zaprzestać, czy należy to formalnie udowodnić?
Najlepiej jest po prostu podać kontrprzykład.
\(\displaystyle{ -f(-x}\)) jako \(\displaystyle{ cos ( \pi + \frac{x}{3} - \frac{\pi}{6})}\) - czy można tak?
Pewnie.

\(\displaystyle{ f(x)=f(-x) \Leftrightarrow cos( \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} ) = cos( - \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}) \Leftrightarrow (\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = - \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} + 2k \pi \ \vee \ \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = - (- \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}) + 2k \pi ) \Leftrightarrow (x=3k \pi \ \vee \ \pi = 6k \pi) , \ k \in \mathbb{Z}}\)
W analogiczny sposób możesz udowodnić, że \(\displaystyle{ \cos(x) \neq \cos(-x)}\)
patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podziękował: 352 razy
Pomógł: 33 razy

(Nie)parzystość cosinusa zmodyfikowanego

Post autor: patry93 »

W analogiczny sposób możesz udowodnić, że \(\displaystyle{ \cos(x) \neq \cos(-x)}\)
A tego nie rozumiem. Gdzie strzeliłem głupotę?
Awatar użytkownika
miki999
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

(Nie)parzystość cosinusa zmodyfikowanego

Post autor: miki999 »

Ogólnie zapis dobry, ale wnioski niekoniecznie :>

Z ostatniej części sprawdzamy czy jest prawdziwe:
Istnieje takie całkowite \(\displaystyle{ k}\), że dla dowolnego argumentu \(\displaystyle{ x}\): \(\displaystyle{ x=3k \pi}\) lub \(\displaystyle{ \pi = 6 k \pi}\).

Logikę miałeś, tak? Musi zachodzić pierwszy warunek lub drugi (niekoniecznie oba naraz).
1. nie zachodzi, bo np. nie istnieje takie \(\displaystyle{ k}\), że dla każdego iksa \(\displaystyle{ x= 3 k \pi}\).
2. warunek również nie zachodzi, bo gdy podzielimy równość przez \(\displaystyle{ 6}\), to widzimy, że musiałoby być \(\displaystyle{ k= \frac{1}{6}}\), ale wtedy \(\displaystyle{ k \notin \mathbb{Z}}\).


Sprawdzanie tą metodą \(\displaystyle{ \cos x}\) byłoby błędne, bo rozpisując ten przykład (nie wiem czy zwróciłeś na to uwagę ) wykorzystujesz parzystość kosinusa.



Pozdrawiam.


edit.
Chyba jednak miałeś na myśli dokładnie to samo co ja, więc przepraszam za rozbudzenie wątpliwości
patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podziękował: 352 razy
Pomógł: 33 razy

(Nie)parzystość cosinusa zmodyfikowanego

Post autor: patry93 »

No... tak, z pełną świadomością wpisałem tam \(\displaystyle{ \vee}\) Gdyby przynajmniej jeden warunek okazał się prawdą, to wtedy by mi się dowód sypnął, a że wyszły oba fałszywe, to jest OK (tzn. OK w sensie, że doszedłem do chcianej sprzeczności ), zgadza się?
Co do samego \(\displaystyle{ cosx}\) - sprawdzanie parzystości cosinusa poprzez założenie parzystości byłoby faktycznie dziwne
edit.
Chyba jednak miałeś na myśli dokładnie to samo co ja, więc przepraszam za rozbudzenie wątpliwości
Spoko Lubię niepewność

Ach, i jeszcze jedno pytanie:
Najlepiej jest po prostu podać kontrprzykład.
Czy można tutaj znaleźć w miarę miły do liczenia i sprawdzenia kontrprzykład, czy pozostaje np. kalkulator/wykres?
Awatar użytkownika
miki999
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

(Nie)parzystość cosinusa zmodyfikowanego

Post autor: miki999 »

Czy można tutaj znaleźć w miarę miły do liczenia i sprawdzenia kontrprzykład, czy pozostaje np. kalkulator/wykres?
Czasem warto poszukać w miejscach zerowych.



Pozdrawiam.
ODPOWIEDZ