Rozwiązać równanie trygonometryczne

[patryk007]

Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \frac{sin x\cdot cos x}{cos2x+sin^{2}x}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}tg^{2}x}\)

_____ _____ _____ _____


Przekształcając mianownik:
\(\displaystyle{ cos2x+sin^{2}x \neq 0}\)
\(\displaystyle{ (cos^{2}x-sin^{2}x)+sin^{2}x \neq 0}\)
\(\displaystyle{ cosx\neq 0}\)
\(\displaystyle{ x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi}\)

Przekształcając równanie (pamiętając o powyższym założeniu):
\(\displaystyle{ \frac{sin x\cdot cos x}{cosx}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}tg^{2}x}\)
\(\displaystyle{ \frac{2sin x\cdot cos x}{cosx}=1+tg^{2}x}\)
\(\displaystyle{ 2sinx=1+\frac{sin^{2}x}{cos^{2}x}}\)
\(\displaystyle{ 2sinx=\frac{1}{cos^{2}x}}\)
\(\displaystyle{ 2sinx\cdot cos^{2}x-1=0}\)
\(\displaystyle{ 2sinx\cdot (1-sin^{2}x)-1=0}\)
\(\displaystyle{ 2sin^{3}x-2sinx+1=0}\)

No i co teraz? Gdzie jest błąd?

[rodzyn7773]

\(\displaystyle{ \frac{sin x\cdot cos x}{cos2x+sin^{2}x}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}tg^{2}x}\)

\(\displaystyle{ cos2x+sin^{2}x \neq 0 \\
(cos^{2}x-sin^{2}x)+sin^{2}x \neq 0 \\
cosx\neq 0 \\
x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi}\)

Z twoich przekształceń wynika, że:
\(\displaystyle{ cos2x+sin^{2}x=cos^2x}\)

I teraz źle podstawiłaś to do równania. Powinno być:
\(\displaystyle{ \frac{sin x}{cosx}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}tg^{2}x}\)
Rozwiązanie:
Podstawić za tgx zmienną pomocniczą.

[patryk007]

Moje przekonania, złe przekonania. Kolega spoza forum o minutę szybszy. Ale i tak THX.