układ równań

[ejtysopel]

jak rozwiązac taki układ równań
\(\displaystyle{ 2cos(x+\frac{1}{2}y)cos(\frac{1}{2}y)=0}\)
\(\displaystyle{ 2cos(\frac{1}{2}x+y)cos(\frac{1}{2}x)=0}\)
ja myslalem tak ale cos nie wyszlo
\(\displaystyle{ cos(\frac{1}{2}x)=0}\)
\(\displaystyle{ x=\pi}\)
\(\displaystyle{ cos(\frac{1}{2}y)=0}\)
\(\displaystyle{ y=\pi}\) w książce pana krysickiego jest inny wynik \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{3}}\) oraz \(\displaystyle{ y=\frac{\pi}{3}}\) jak to rozwiązać ?? bo chyba moje podejscie jest zle

[sharky51]

Oba rozwiązania są poprawne. Pamiętaj, że \(\displaystyle{ \cos}\) jest funkcją okresową, więc tak naprawdę jest nieskończenie wiele rozwiązań. Podstaw swoją odpowiedź i odpowiedź z książki i zobaczysz, że zarówno \(\displaystyle{ \pi}\) jak i \(\displaystyle{ \fract{\pi}{3}}\) spełniają ten układ równań.-- 29 mar 2010, o 12:57 --Co do sposobu rozwiązania, to można ten układ rozwiązać korzystając ze wzoru \(\displaystyle{ cos(x + y) = cos(x) cos(y) - sin(x) sin(y)}\). Po podstawieniu układ można doprowadzić do takiej postaci:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}
cos(\frac{1}{2}y) (cos(x) - sin(x)sin(\frac{1}{2}y)) = 0 \\
cos(\frac{1}{2}x) (cos(y) - sin(\frac{1}{2}x)sin(y)) = 0
\end{matrix}\right.}\)

Co daje nam rozwiązanie:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}
cos(\frac{1}{2}y) = 0 \\
cos(\frac{1}{2}x) = 0
\end{matrix}\right.}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}
x = \pi \\
y = \pi
\end{matrix}\right.}\)