cosinus kata i sinus kata

[agnieszka19192]

wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ cos( \alpha + \beta )=0}\), to \(\displaystyle{ sin( \alpha +2 \beta )=sin \alpha}\).

[lukasz1804]

Z założenia mamy \(\displaystyle{ \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}+k\pi}\) dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\), tj. \(\displaystyle{ \beta=(\frac{\pi}{2}+k\pi-\alpha}\), więc z okresowości funkcji sinus oraz ze wzoru redukcyjnego jest \(\displaystyle{ \sin(\alpha+2\beta)=\sin(\alpha+\pi+2k\pi-2\alpha)=\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha}\).