wykaz ze trojkat jest prostokatny
-
Cecylia
- Użytkownik
- Posty: 127
- Rejestracja: 21 lut 2009, o 16:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 7 razy
wykaz ze trojkat jest prostokatny
wykaz, ze jesli trojkat nie jest rozwartokatny oraz miara \(\displaystyle{ \alpha}\) jednego z jego katow spelnia warunek \(\displaystyle{ sin \alpha +cos \alpha \le \frac{2cos2 \alpha }{sin2 \alpha -2}}\) to trojkat ten jest prostokatny
-
kp1311
- Użytkownik
- Posty: 475
- Rejestracja: 20 maja 2009, o 15:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarzecze
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 49 razy
wykaz ze trojkat jest prostokatny
Trójkąt nie jest rozwartokątny więc \(\displaystyle{ sin\alpha, cos\alpha >0}\)
Teraz przekształcamy nierówność:
\(\displaystyle{ sin \alpha +cos \alpha \le \frac{2cos2 \alpha }{sin2 \alpha -2}}\)
użyjemy wzorów:
\(\displaystyle{ cos2 \alpha = cos^{2}\alpha - sin^{2}\alpha}\) i \(\displaystyle{ sin2\alpha= 2sin\alpha cos\alpha}\)
Dostajemy:
\(\displaystyle{ sin \alpha +cos \alpha \le \frac{cos^{2}\alpha - sin^{2}\alpha }{sin\alpha cos\alpha -1}}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha +cos \alpha \le \frac{(cos\alpha - sin\alpha)(cos\alpha + sin\alpha) }{sin\alpha cos\alpha -1}}\)
\(\displaystyle{ (sin \alpha +cos \alpha)(1 - \frac{(cos\alpha - sin\alpha)}{sin\alpha cos\alpha -1}) \le 0}\)
\(\displaystyle{ (sin \alpha +cos \alpha)(\frac{sin\alpha cos\alpha -1 - cos\alpha + sin\alpha)}{sin\alpha cos\alpha -1}) \le 0}\)
\(\displaystyle{ (sin \alpha +cos \alpha)(\frac{sin\alpha (cos\alpha + 1) -(1 + cos\alpha)}{sin\alpha cos\alpha -1}) \le 0}\)
\(\displaystyle{ (sin \alpha +cos \alpha)(\frac{(sin\alpha -1)(cos\alpha + 1)}{sin\alpha cos\alpha -1}) \le 0}\)
Teraz trzeba lekko okroić tą nierówność tak żeby zostało tylko to co nas interesuje:
\(\displaystyle{ sin \alpha +cos \alpha>0 \wedge 1+cos\alpha > 0}\) zatem jeśli podzielimy obie strony przez
\(\displaystyle{ (sin \alpha +cos \alpha)(1+cos\alpha}\))[/latex] nierówność nie zmieni znaku.
Po podzieleniu zostaje nam:
\(\displaystyle{ (\frac{(sin\alpha -1)}{sin\alpha cos\alpha -1}) \le 0}\)
Widzimy że \(\displaystyle{ sin\alpha cos\alpha -1<0}\) zatem by nasz ułamek był \(\displaystyle{ \le 0}\) musi zachodzić \(\displaystyle{ sin\alpha - 1 \ge 0}\), jednocześnie pamiętamy o tym że \(\displaystyle{ sin\alpha \le 1}\)
dlatego by nierówność była spełniona musi zachodzić \(\displaystyle{ sin\alpha -1 =0 \Rightarrow sin\alpha = 1 \Rightarrow \alpha= \frac{\pi}{2}}\) c.k.d.
Swoją drogą to skąd pochodzi to zadanie? Miałem ostatnio identyczne na sprawdzianie...
Teraz przekształcamy nierówność:
\(\displaystyle{ sin \alpha +cos \alpha \le \frac{2cos2 \alpha }{sin2 \alpha -2}}\)
użyjemy wzorów:
\(\displaystyle{ cos2 \alpha = cos^{2}\alpha - sin^{2}\alpha}\) i \(\displaystyle{ sin2\alpha= 2sin\alpha cos\alpha}\)
Dostajemy:
\(\displaystyle{ sin \alpha +cos \alpha \le \frac{cos^{2}\alpha - sin^{2}\alpha }{sin\alpha cos\alpha -1}}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha +cos \alpha \le \frac{(cos\alpha - sin\alpha)(cos\alpha + sin\alpha) }{sin\alpha cos\alpha -1}}\)
\(\displaystyle{ (sin \alpha +cos \alpha)(1 - \frac{(cos\alpha - sin\alpha)}{sin\alpha cos\alpha -1}) \le 0}\)
\(\displaystyle{ (sin \alpha +cos \alpha)(\frac{sin\alpha cos\alpha -1 - cos\alpha + sin\alpha)}{sin\alpha cos\alpha -1}) \le 0}\)
\(\displaystyle{ (sin \alpha +cos \alpha)(\frac{sin\alpha (cos\alpha + 1) -(1 + cos\alpha)}{sin\alpha cos\alpha -1}) \le 0}\)
\(\displaystyle{ (sin \alpha +cos \alpha)(\frac{(sin\alpha -1)(cos\alpha + 1)}{sin\alpha cos\alpha -1}) \le 0}\)
Teraz trzeba lekko okroić tą nierówność tak żeby zostało tylko to co nas interesuje:
\(\displaystyle{ sin \alpha +cos \alpha>0 \wedge 1+cos\alpha > 0}\) zatem jeśli podzielimy obie strony przez
\(\displaystyle{ (sin \alpha +cos \alpha)(1+cos\alpha}\))[/latex] nierówność nie zmieni znaku.
Po podzieleniu zostaje nam:
\(\displaystyle{ (\frac{(sin\alpha -1)}{sin\alpha cos\alpha -1}) \le 0}\)
Widzimy że \(\displaystyle{ sin\alpha cos\alpha -1<0}\) zatem by nasz ułamek był \(\displaystyle{ \le 0}\) musi zachodzić \(\displaystyle{ sin\alpha - 1 \ge 0}\), jednocześnie pamiętamy o tym że \(\displaystyle{ sin\alpha \le 1}\)
dlatego by nierówność była spełniona musi zachodzić \(\displaystyle{ sin\alpha -1 =0 \Rightarrow sin\alpha = 1 \Rightarrow \alpha= \frac{\pi}{2}}\) c.k.d.
Swoją drogą to skąd pochodzi to zadanie? Miałem ostatnio identyczne na sprawdzianie...
