Wiedzac, ze...

[juhas18]

Wiedzac ze \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) sa katami ostrymi oraz \(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{1}{ \sqrt{10} }}\) i \(\displaystyle{ tg \beta = \frac{4}{3}}\) wykaz ze \(\displaystyle{ 2 \alpha + \beta = \pi /2}\)

[rodzyn7773]

Pokaż, że:
\(\displaystyle{ sin(2 \alpha + \beta )=1=sin \frac{\pi }{2}}\)

[wagus1]

Prosiłbym o pomoc w tym zadaniu.

[rodzyn7773]

Najpierw wyznaczymy wartości sin i cos podanych kątów:
Dla kąta \(\displaystyle{ \alpha}\):
\(\displaystyle{ sin \alpha= \frac{1}{ \sqrt{10} } \\ cos \alpha = \sqrt{1-sin^2 \alpha } = \sqrt{1- \frac{1}{10} } = \frac{3}{ \sqrt{10} }}\)

Dla kąta \(\displaystyle{ \beta}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{sin \beta}{cos \beta}= \frac{4}{3} \\ sin^2 \beta+cos^2 \beta=1 \end{cases} \\ \begin{cases} sin \beta= \frac{4}{3} cos \beta \\ \frac{16}{9} cos^2 \beta+cos^2 \beta =1 \end{cases} \\ \begin{cases} sin \beta= \frac{4}{5} \\ cos \beta= \frac{3}{5} \end{cases}}\)

Teraz pokażemy, że:
\(\displaystyle{ sin(2 \alpha + \beta) = sin \frac{ \pi}{2} =1}\)

\(\displaystyle{ sin(2 \alpha + \beta)=sin(2 \alpha)*cos \beta + sin \beta* cos(2 \alpha)= \\ =2sin \alpha cos \alpha*cos \beta+ sin \beta*(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)=...=1=sin \frac{\pi}{2}}\)

Wystarczy podstawić wartości sinusów i cosinusów do równania.

[kocurek1992]

wykaz ze jesli a,b,y sa katami i tga=3 tgb=2 to y=45stopni>