rozwiązać równanie 2sin2x+2sinx-2cosx=1

[goldenka]

Witam,
Mam oto małe zadanko:
Rozwiązać równanie
sin2x + sinx - cosx= 1/2

Następnie podać rozwiązania do przedziału [-Π, Π]

Proszę o pomoc w rozw. tego zadania.
Dziękuję.

Zadanie przeniosłam do odpowiedniego działu,gaga.

[Lady Tilly]

Aby zachować jedność kąta możesz posłużyć się wzorami:
\(\displaystyle{ sinx=\frac{{\pm}tgx}{\sqrt{1+tg^{2}x}}\)
\(\displaystyle{ cosx=\frac{{\pm}1}{\sqrt{1+tg^{2}x}}\)
pamiętaj przy tym, że \(\displaystyle{ sin2x=sinxcosx}\) a plus lub minus zależy oczywiście od określonego przedziału.

[goldenka]

Czy mogłabym prosić jeszcze o wyprowadzenie tych pierwszych dwóch wzorów, gdyż niestety pierwszy raz się z nimi spotykam, a nie chciałabym ich załączać do pracy "z kosmosu"
Dziękuję

[mol_ksiazkowy]

oczywiscie, albo baw sie tak: sinx =a, cosx=b, i masz ukłąd
\(\displaystyle{ 2ab + a - b= 1/2 \\
a^2+b^2=1}\)

[Lady Tilly]

Niech \(\displaystyle{ tgx=m}\)
wtedy
\(\displaystyle{ tgx=\frac{sinx}{cosx}}\)

\(\displaystyle{ m=\frac{sinx}{cosx}}\)

\(\displaystyle{ m^{2}=\frac{sin^{2}x}{cos^{2}x}}\)

\(\displaystyle{ m^{2}cos^{2}x=sin^{2}x}\)

\(\displaystyle{ m^{2}cos^{2}x=1-cos^{2}x}\)

\(\displaystyle{ cos^{2}x+m^{2}cos^{2}x=1}\)

\(\displaystyle{ cos^{2}{\cdot}(1+m^{2})=1}\)

\(\displaystyle{ cos^{2}x=\frac{1}{1+m^{2}}}\)

\(\displaystyle{ cosx=\frac{{\pm}1}{\sqrt{1+m^{2}}}\)

no a z sinusem podobnie

[goldenka]

Witam ponownie...
Czy mógłby mi ktoś doprowadzić do końca, bo niestety moje próby spełzły na niczym... Sposobem pana Mola_książkowego wychodzi wielomian który nie posiada pierwiastków wymiernych i ciężko je znaleźć... Tym drugim sposobem również nie mogę sobie poradzić.
Dziękuję z góry za pomoc

[mol_ksiazkowy]

najlepiej zrób tak:
\(\displaystyle{ sinx-cosx=1/2 - sin2x}\), po podniesieniu do kwadratu i redukcji:
\(\displaystyle{ (sin2x)^2=3/4}\) i dalej juz z gorki...

[goldenka]

Dziękuję najmocniej i pozdrawiam:)