Dwa równania trygonomteryczne

[mikesz14]

1) Rozw. \(\displaystyle{ sin\alpha +cos\alpha =\sqrt{tg\alpha +ctg\alpha}}\)
2) Rozw. \(\displaystyle{ sin^3 + cos^3\alpha =1}\)

zmieniłam temat na regulaminowy
Lady Tilly

[Lady Tilly]

w pierwszym;
\(\displaystyle{ (sin\alpha+cos\alpha)^{2}=tg\alpha+ctg\alpha}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}\alpha+2sin{\alpha}cos\alpha+cos^{2}\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}+\frac{cos\alpha}{sin\alpha}}\)

\(\displaystyle{ 2sin{\alpha}cos\alpha+1=\frac{1}{sin{\alpha}cos\alpha}\)

\(\displaystyle{ sin{\alpha}cos\alpha(2sin{\alpha}cos\alpha+1)=1}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}sin2\alpha(sin2\alpha+1)=1}\) dalej poradzisz sobie

[mikesz14]

a to 2 zadanko ?

jakas podpowiedz

[Tristan]

Zauważmy, że \(\displaystyle{ \sin^2 x + \cos^2 x =1}\). Mamy z tego, że:
\(\displaystyle{ \sin^3 x + \cos^3 x = \sin^2 + \cos^2 x \\ \sin^3 x - \sin^2 x = \cos^2 x - \cos^3 x \\ \sin^2 x ( \sin x -1) = \cos^2 x ( 1 - \cos x) \\ (1 - \cos^2 x )( \sin x -1)=\cos^2 x (1 - \cos x) \\ ( 1 - \cos x )( 1 + \cos x)( \sin x -1)= \cos^2 x( 1 - \cos x) \\ 1 - \cos x=0 (1+ \cos x)( \sin x -1)= \cos^2 x \\ \cos x =1 \sin x - 1 + \sin x \cos x - \cos x = \cos^2 x \\ \cos x =1 ( sin x -1) + \cos x ( \sin x -1)=1- \sin^ x \\ \cos x=1 -(1-\sin x ) - \cos x ( 1- \sin x)=( 1 - \sin x)(1+ \sin x) \\ \cos x =1 1 - \sin x =0 -1-\cos x =1+ \sin x \\ \cos x=1 \sin x=1 -2= \sin x + \cos x}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \cos( x - 45^{\circ} )}\), więc nigdy nie przyjmie wartości równej -2. Rozwiązaniami są więc: \(\displaystyle{ x_{1}= \frac{ \pi}{2} + 2k \pi, x_{2}=2k \pi , k \mathbb{ C}}\).

[mikesz14]

gosciu jestes wielki tego wlasnie szukalem nawet bylem blisko ale jednak tak daleko

thx

[Calasilyar]

w pierwszym jeszcze \(\displaystyle{ tg\alpha >0}\)