Oblicz, gdy

[hubij]

Oblicz \(\displaystyle{ sin^{6} \alpha + cos^{6} \alpha}\), gdy \(\displaystyle{ sin \alpha + cos \alpha = p}\)

dochodzę tylko do momentu
\(\displaystyle{ =1 - 3sin^{2} \alpha cos^{2} \alpha}\),
co rozbijam na

\(\displaystyle{ =1 - sin^{2} \alpha cos^{2} \alpha - 2sin^{2} \alpha cos^{2}\alpha \\=
1 - sin^{2} \alpha cos^{2}\alpha - [(sin \alpha + cos \alpha)^{2} - (sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha)] \\=
1 - sin^{2} \alpha cos^{2} \alpha - (p^{2} - 1)\\
= - sin^{2} \alpha cos^{2} \alpha - p^{2}}\)

ale teraz juz nie mam co zrobić z \(\displaystyle{ - sin^{2} \alpha cos^{2} \alpha}\)

[Adifek]

\(\displaystyle{ - sin^{2} \alpha cos^{2} \alpha=- \frac{1}{4}(4sin^{2}\apha cos^{2}\alpha)= - \frac{1}{4}(2sin\alpha cos\alpha)^{2}=- \frac{1}{4}sin^{2}2\alpha}\)

Żeby było łatwiej, liczysz z tego \(\displaystyle{ cos2\alpha}\)

\(\displaystyle{ sin^{2}2\alpha +cos ^{2}2\alpha =1}\)

A z niego \(\displaystyle{ sin^{2}\alpha}\) oraz \(\displaystyle{ cos^{2}\alpha}\)

\(\displaystyle{ cos2\alpha=1-2sin^{2}\apha=2cos^{2}\alpha -1}\)

\(\displaystyle{ sin^{6} \alpha + cos^{6} \alpha = (sin^{2} \alpha )^{3}+ (cos^{2} \alpha)^{3}}\)

PS Nie sprawdzałem Twoich wcześniejszych obliczeń-- 22 marca 2010, 20:09 --Hm... Tak patrzę... A nie lepiej byłoby:

\(\displaystyle{ sinx+cox=p \\
1-2sincosx=p^{2} \\
sin2x=1-p^{2}}\)

I teraz kontynuować moje obliczenia...?