Wyznacz najmniejszą wartość funkcji

[orlik_orzel]

Wyznacz najmniejszą wartość funkcji

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{(ctg ^{2}x-tg ^{2}x) \cdot sin ^{2} 2x }{4cos2x \cdot sin ^{2}x }}\)

Przyznam, że nawet nie wiem od czego tutaj zacząć.
Proszę o możliwie jak najdokładniejsze wytłumaczenie; będę wdzięczny

[tometomek91]

\(\displaystyle{ D_{f} x \in \mathbb{R}- \{k \pi; \frac{\pi}{4}+k \pi; \frac{3\pi}{4}+k \pi \}\\
f(x)= \frac{(ctg ^{2}x-tg ^{2}x) \cdot sin ^{2} 2x }{4cos2x \cdot sin ^{2}x }= \frac{\left(\frac{cos^{2}x}{sin^{2}x}-\frac{sin^{2}x}{cos^{2}x} \right) \cdot 4sin^{2}xcos^{2}x }{4cos2x \cdot sin ^{2}x }= \frac{ \frac{cos^{4}x-sin^{4}x}{sin^{2}xcos^{2}x} \cdot 4sin^{2}xcos^{2}x }{4cos2x \cdot sin ^{2}x }=\frac{cos^{4}x-sin^{4}x}{cos2x \cdot sin ^{2}x }=\frac{(cos^{2}x-sin^{2}x)(cos^{2}x+sin^{2}x)}{(cos^{2}x-sin^{2}x)sin^{2}x}=\frac{1}{sin^{2}x}\\
f_{min} \Leftrightarrow g_{max}; \ \ g(x)=sin^{2}x}\)

[orlik_orzel]

Jak zamieniłeś:

\(\displaystyle{ sin ^{2}2x}\) = \(\displaystyle{ 4sin ^{2}xcos ^{2}x}\) ?