Udowodnij, że kąt gamma ma 90st., gdy spełniony jest warunek

[edaro]

Niech \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) będą kątami wewnętrznymi trójkąta. Udowodnij, że \(\displaystyle{ \gamma = 90^{\circ}}\) wtedy i tylko wtedy gdy spełniony jest warunek:
\(\displaystyle{ \frac{sin\alpha + sin\beta}{cos\alpha + cos\beta} = sin\gamma}\)


- - - - - - - - - - - -

Ja dowodzę to tak:

\(\displaystyle{ \alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}
\\
\\
\frac{sin\alpha + sin\beta}{cos\alpha + cos\beta} = sin\gamma
\\
\\
\frac{sin(\frac{\pi}{2}-\beta) + sin\beta}{cos(\frac{\pi}{2}-\beta) + cos\beta} = sin\gamma
\\
\\
\frac{cos\beta + sin\beta}{sin\beta + cos\beta} = sin\gamma
\\
\\
sin\gamma = 1 \Rightarrow \gamma = 90^{\circ}}\)

Czy powyższy dowód jest poprawny?

[Adifek]

Dowód jest niepoprawny, bo z góry zakładasz, że \(\displaystyle{ \alpha + \beta = \frac{\pi}{2}}\)

Tu masz dowód:
186857.htm