Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji

[tomekkyo]

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji \(\displaystyle{ f\left ( x \right )= 2\left ( 3cos^{2}x+1\right )^{2}-12\left ( 3cos^{2}x+1\right )^{2}+16, x\in R}\)
Bardzo byłbym wdzięczny, gdyby ktoś przeliczył to zadnie.

[Althorion]

Podpowiedź:
\(\displaystyle{ f(x) = 2t^2 - 12t + 16}\)
gdzie \(\displaystyle{ t = 3\cos^2 x + 1}\)
Wyznacz, w jakim przedziale zawiera się \(\displaystyle{ t}\) i kontynuuj już z podstawieniem.

[tomekkyo]

Moja wina bo źle przedstawiłem problem, ja policzyłem to zadanie, co jest bardzo budujące w ten sam sposób, w który mi podpowiedziałeś. Tylko prawidłowe odpowiedzi w książce nie zgadzają się z moim wynikiem. Podam je:
-moje \(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}
f\left ( x_ \right )_{min}=0\\
f\left ( x \right )_{max}=6
\end{matrix}\right.}\)

-w książce \(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}
f\left ( x_ \right )_{min}=-2\\
f\left ( x \right )_{max}=6
\end{matrix}\right.}\)

Czy mógłby ktoś sprawdzić, który wynik jest dobry i ewentualnie pokrótce pokazać jak do rezultatu doszło.

[Althorion]

Odpowiedzi z książki są poprawne.

Zauważ, że \(\displaystyle{ f(t) = 2t^2 - 12t + 16}\) przyjmuje minimum równe \(\displaystyle{ -2}\) dla \(\displaystyle{ t = 3}\), które jest osiągalne dla \(\displaystyle{ t = 3\cos^2 x + 1}\)

[tomekkyo]

no ale pierwiastkami tego równania \(\displaystyle{ f(t) = 2t^2 - 12t + 16}\) są \(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}
t_{1}=2\\t_{2}=4

\end{matrix}\right.}\). Skąd więc \(\displaystyle{ t=3}\) ,dla którego faktycznie funkcja przyjmuje min równe \(\displaystyle{ -2}\)? W jaki sposób wyliczyć minimalną wartość funkcji \(\displaystyle{ f(t) = 2t^2 - 12t + 16}\) ?

[Edytowane]

Już wiem skąd się wzięło \(\displaystyle{ t=3}\) z równania na wierzchołek paraboli \(\displaystyle{ -\frac{b}{2a}}\),
dzięki za pomoc.

[adamex]

Jak wyznaczyć w jakim przedziale znajduje się t?