Problem z równaniem trygonometrycznym

[Lbubsazob]

Znowu trygonometria mnie pokonała. Mam takie zadanko:
Wiedząc, że \(\displaystyle{ sin^4x+cos^4x= \frac{5}{9}}\), oblicz \(\displaystyle{ tg^2x}\).

Zaczęłam to robić w następujący sposób:
\(\displaystyle{ sin^4x+cos^4x= \frac{5}{9}\\
\left( sin^2x\right)^2+2sin^2x cos^2x+ \left(cos^2x \right)^2-2sin^2x cos^2x= \frac{5}{9}\\
\left( sin^2x+cos^2x\right)^2-2sin^2x cos^2x= \frac{5}{9}\\
1- \frac{5}{9}=2sin^2x cos^2x \\
\frac{4}{9}=2sin^2x cos^2x \\
\frac{2}{9}=sin^2x cos^2x}\)
I nie wiem, co z tym dalej zrobić. Przyrównać do jedynki trygonometrycznej? I czy to w ogóle dobry sposób rozumowania?

[Adifek]

\(\displaystyle{ \frac{2}{9}=sin^2x cos^2x \\
\frac{2}{9}=\frac{1}{4}(2sinxcos)^{2} \\
\frac{2}{9}=\frac{1}{4}sin^{2}2x \\
sin^{2}2x= \frac{8}{9} \\
sin^{2}2x+cos^{2}2x=1 \\
cos^{2}2x= \frac{1}{9} \\
cos2x= \frac{1}{3} \quad \vee \quad cos2x=- \frac{1}{3} \\
cos2x=1-2sin^{2}x=2cos^{2}x-1}\)

Liczysz z tego \(\displaystyle{ sin^{2}x}\) oraz \(\displaystyle{ cos^{2}x}\), potem \(\displaystyle{ tg^{2}x= \frac{sin^{2}x}{cos^{2}x}}\) i założenie, że \(\displaystyle{ x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi \quad \wedge \quad k\in C}\)

[Lbubsazob]

Dzięki wielkie W życiu bym na takie coś nie wpadła. Na szczęście wyszło tak, jak w odpowiedziach: \(\displaystyle{ tg^2x=2 \vee tg^2x= \frac{1}{2}}\).