Sprawdz dla jakich wartości parametru m istnieją rozwiązania

[edaro]

\(\displaystyle{ sin^{4}x + cos^{4}x = m}\)

liczę to na dwa sposoby:
1)
\(\displaystyle{ sin^{4}x + cos^{4}x = m
\\
sin^{4}x + (cos^{2}x)^{2} = m
\\
sin^{4}x + (1 - sin^{2}x)^{2} = m
\\
sin^{4}x + 1 - 2sin^{2}x + sin^{4}x = m
\\
2sin^{4}x - 2sin^{2}x + 1 = m}\)
niestety delta wychodzi mniejsza od zera :/.

2)
\(\displaystyle{ sin^{4}x + cos^{4}x = m
\\
(sin^{2}x + cos^{2}x)^{2} - 2sin^{2}xcos^{2}x = m}\)

Jak to powinno wyglądać ?

[ordyh]

\(\displaystyle{ \sin^{4}x + \cos^{4}x = m \\
(\sin^{2}x + \cos^{2}x)^{2} - 2\sin^{2}x\cos^{2}x = m \\
1 - 2\sin x\cos x \cdot \sin x\cos x = m \\
1 - \sin2x \cdot \frac{\sin2x}{2} = m \\
1 - \frac{\sin^22x}{2} = m \\
\frac{\sin^22x}{2} \in [0; \frac{1}{2}] \\
m \in [\frac{1}{2}; 1]}\)

[tometomek91]

A w 1) należy znaleźć ekstrema funkcji (za pomocą rachunku różniczkowego) a nie jej miejsca zerowe.

[smigol]

A w 1) należy znaleźć ekstrema funkcji (za pomocą rachunku różniczkowego) a nie jej miejsca zerowe.

Sugerujesz, że rozwiązanie powyżej jest złe?
I po co Ci ekstrema ( i po co z pochodnych) i kto liczył miejsca zerowe?

[ordyh]

Wątpię, zeby to sugerował, po prostu powiedział co trzeba zrobić w sposobie 1), im więcej rozwiązań tym lepiej
miejsca zerowe pewnie dlatego że edaro deltę liczył, no a z pochodnej wychodzą ekstrema gdy \(\displaystyle{ \sin x =0 \vee \sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}}\) podstawiamy i mamy, że \(\displaystyle{ m \in [\frac{1}{2}; 1]}\)

[smigol]

Ajj sorry, ja myślałem, że to dwa różne zadania są i spojrzałem tylko na Twoje rozwiązanie i byłem pewien, że to komentarz do Twojego rozw. zadania numer 1.

Przepraszam tometomek91, i zwracam honor.

[tometomek91]