wykaż, trójkąt prostokątny

[yoana91]

wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ \alpha , \beta , \gamma}\) są kątami trójkąta i \(\displaystyle{ \frac{\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta } =\sin \gamma}\)to trójkąt jest prostokątny.

[Citizen]

Pozbądź się funkcji trygonometrycznych podstawiając za nie wartości wyliczone za pomocą twierdzenia sinusów i cosinusów tj:

\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{a}{2R} \\
\sin \beta = \frac{b}{2R} \\
\sin \gamma = \frac{c}{2R} \\
\cos \alpha = \frac{a^{2}-b^{2}-c^{2}}{-2bc} \\
\cos \beta = \frac{b^{2}-a^{2}-c^{2}}{-2ac}}\)

Doprowdź równanie do najprostszej postaci i otrzymasz, że kwadrat jednego boku jest równy sumie kwadratów pozostałych boków \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) trójkąt jest prostokątny

[Adifek]

Mogę zapytać skąd wzięły się te podstawienie do cosinusów? Szczerze mówiąc, jak widzę to zadnie to aż mnie telepie z bólu, że tak tego nie lubię, a jeszcze bardziej mnie trzęsie, że tego nie umiem

[Citizen]

Adifek, znasz twierdzenie cosinusów?

weźmy np kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) i odcinek trójkąta \(\displaystyle{ a}\) leżący naprzeiw tego kąta, pozostałe boki trójkąta to b i c. Twierdzenie cosinusów mówi, że

\(\displaystyle{ a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha}\) . Teraz zostawiając cosinusa po jednej stronie równania, a całą reszte dając na drugą, następnie dzielimy przez \(\displaystyle{ -2bc}\) i otrzymaliśmy wartość tego cosinusa wyrażoną przez długości boków trójkąta.

Pozdrawiam ;d

[Adifek]

Znam, tylko nie chciałem się domyślać, a być pewnym Z resztą z racji godziny wczoraj już nie bardzo byłem w stanie myśleć
Dzięki wielkie

[abc2343]

A można to tak zrobić?

\(\displaystyle{ \frac{2\sin \frac{ \alpha + \beta }{2} \cos \frac{ \alpha - \beta }{2} }{2\cos \frac{ \alpha + \beta }{2} \cos \frac{ \alpha - \beta }{2} } = \tg \frac{ \alpha + \beta }{2}}\)

\(\displaystyle{ \alpha + \beta + \gamma = \pi}\)

\(\displaystyle{ \alpha + \beta = \pi - \gamma}\)

\(\displaystyle{ \tg \left( \frac{ \pi }{2} - \frac{\gamma}{2} \right) = \sin \gamma}\)

\(\displaystyle{ \ctg \frac{\gamma}{2} = \sin \gamma}\)

\(\displaystyle{ \frac{\cos \frac{\gamma}{2} }{\sin \frac{\gamma}{2} } = 2 \sin \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\gamma}{2}}\)
\(\displaystyle{ 1 = 2 \sin ^{2} \frac{\gamma}{2}}\)

i z tego ostatniego wychodzi, że to równanie jest prawdziwe tylko dla \(\displaystyle{ \gamma= 90^\circ}\)

Wydaje mi się, że prościej.

Nie trzeba robić założeń, że licznik \(\displaystyle{ \neq 0}\) ?