równanie trygonometryczne

[ejtysopel]

witam mam równanie trygonometryczne \(\displaystyle{ cos(4x)=sin({\frac{1}{2}}x)}\) czy można to rozwiązać w taki sposó ??
\(\displaystyle{ 2cos^{2}(x)-1= \sqrt{\frac{1-cos(x)}{2}}}\)
\(\displaystyle{ 2cos(2x)cos(2x)-1=\sqrt{\frac{1-cos(x)}{2}}}\)
\(\displaystyle{ 2(2cos^{2}(x)-1)(2cos^{2}(x)-1)=\sqrt{\frac{1-cos(x)}{2}}}\)
\(\displaystyle{ 2(2cos^{2}(x)-1)^{2}=\sqrt{\frac{1-cos(x)}{2}}}\)
\(\displaystyle{ 4(2cos^{2}(x)-1)^{4}={\frac{1-cos(x)}{2}}}\)
\(\displaystyle{ 8(2cos^{2}(x)-1)^{4}=1-cos(x)}\)
\(\displaystyle{ 8(2cos^{2}(x)-1)^{2}(2cos^{2}(x)-1)^{2}=1-cos(x)}\)
\(\displaystyle{ 8(4cos^{4}(x)-4cos^{2}(x)+1)=1-cos(x)}\)
\(\displaystyle{ 32cos^{4}(x)-32cos^{2}(x)+8=1-cos(x)}\)
\(\displaystyle{ 32cos^{4}(x)-32cos^{2}(x)+7+cos(x)=0}\) podstawienie \(\displaystyle{ t=cos(x)}\)
\(\displaystyle{ 32t^{4}-32t^{2}+t+7=0}\) czy to w taki sposób ma byc ??

[pingu]

Ja bym skorzystał ze wzoru:
\(\displaystyle{ cos4x = sin( \frac{\pi }{2}-4x)}\)

a teraz:
\(\displaystyle{ sin( \frac{\pi }{2}-4x)-sin \frac{x}{2} = 0}\)

a teraz wzór na różnice sinusów i mamy postać iloczynową.

pozdrawiam
pingu

[ejtysopel]

no tak udało sie dzieki za pomoc mozesz mi jeszcze powiedzieć skąd wiadomo że trzeba stosować wzór na sume lu różnice kątów a kiedy na sume lub różnice funkcji ??