Wykaż że funkcja jest stała

[maciej2310]

Wykaż że funkcja \(\displaystyle{ F(x)=cos^2x+cos^2( \frac{\pi }{3} +x)-cosxcos( \frac{\pi }{3} +x)}\) jest stała z góry dziękuje za pomoc w rozwiązaniu.

[Adifek]

Podpowiedź:
\(\displaystyle{ cos( \alpha + \beta )=cos \alpha cos \beta -sin \alpha sin \beta}\)

[maciej2310]

Szczerze mówiąc nie bardzo wiem w jaki sposób mogło by mi to pomóc, gdzie to podstawić tam gdzie mam \(\displaystyle{ cos^2}\)?

[Adifek]

\(\displaystyle{ cos^{2}x+cos^2( \frac{\pi }{3} +x)-cosxcos( \frac{\pi }{3}) +x=
cos^{2}x + (cosxcos \frac{\pi}{3} -sinxsin\frac{\pi}{3})^{2} - cosx(cosxcos \frac{\pi}{3} -sinxsin\frac{\pi}{3}) =
cos^{2}x +( \frac{1}{2}cosx- \frac{ \sqrt{3} }{2}sinx )^{2} -cosx(\frac{1}{2}cosx- \frac{ \sqrt{3} }{2}sinx)
=cos^{2}x + \frac{1}{4}cos^{2}x+ \frac{3}{4} sin^{2}x - \frac{ \sqrt{3} }{2} sinxcosx - \frac{1}{2}cos^{2}x + \frac{ \sqrt{3} }{2}sinxcosx =
cos^{2}x + \frac{1}{4}cos^{2}x+ \frac{3}{4} sin^{2}x - \frac{1}{2}cos^{2}x =
\frac{3}{4} cos^{2}x + \frac{3}{4} sin^{2}x = \frac{3}{4}(sin^{2}x+cos^{2}x)= \frac{3}{4}}\)