Witam, mam problem z rozwiązaniem pewnego zadania:
Rozwiąż nierówność
\(\displaystyle{ \sin^{4}x + \cos^{6}x \geqslant 2x^{4} + 1}\)
Nierówność z czwartą i szóstą potęgą
-
wb
- Użytkownik
- Posty: 3507
- Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1260 razy
Nierówność z czwartą i szóstą potęgą
Funkcja:
\(\displaystyle{ f(x)=sin^4x+cos^6x=(1-cos^2x)^2+cos^6x=1-2cos^2x+cos^4x+cos^6x}\)
ma największą wartość \(\displaystyle{ 1-2 \cdot 1+1+1=1}\)
Funkcja:
\(\displaystyle{ g(x)=2x^4+1}\)
ma najmniejszą wartość 1 dla x=0.
Nierówność \(\displaystyle{ f(x) \ge g(x)}\) jest zatem spełniona tylko dla x=0 , gdzie \(\displaystyle{ f(x) = g(x)}\)
a dla pozostałych x jest \(\displaystyle{ f(x) < g(x)}\)
\(\displaystyle{ f(x)=sin^4x+cos^6x=(1-cos^2x)^2+cos^6x=1-2cos^2x+cos^4x+cos^6x}\)
ma największą wartość \(\displaystyle{ 1-2 \cdot 1+1+1=1}\)
Funkcja:
\(\displaystyle{ g(x)=2x^4+1}\)
ma najmniejszą wartość 1 dla x=0.
Nierówność \(\displaystyle{ f(x) \ge g(x)}\) jest zatem spełniona tylko dla x=0 , gdzie \(\displaystyle{ f(x) = g(x)}\)
a dla pozostałych x jest \(\displaystyle{ f(x) < g(x)}\)