najprostsza postać

[yoana91]

Wyrażenie \(\displaystyle{ W= \frac{cos \alpha }{1+sin \alpha }+ \frac{1+sin \alpha }{cos \alpha }}\) sprowadź do możliwie najprostszej postaci, a następnie oblicz jego wartość dla takiego kąta ostrego \(\displaystyle{ \alpha}\), że \(\displaystyle{ tg \alpha =3}\)

proszę o wskazówki, nie mogę poradzić sobie z przekształceniem wyrażenia

[tometomek91]

Spróbuj sprowadzić do wspólnego mianownika i po drodze skorzystać z jedynki trygonometrycznej, powinno wyjść \(\displaystyle{ \frac{2}{cos\alpha}}\).
\(\displaystyle{ \alpha \in (0; \frac{\pi}{2})\\
tg \alpha =3\\
\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=3\\
sin\alpha=3cos\alpha\\
sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=1\\
9cos^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=1\\
cos\alpha=\frac{1}{10}\\
W=\frac{2}{cos\alpha}=20}\)

[me123]

\(\displaystyle{ = \frac{cos ^{2} \alpha +1+2sin \alpha +sin ^{2} \alpha }{cos \alpha +cos \alpha sin \alpha }= \frac{2+2sin \alpha }{cos \alpha (1+sin \alpha )} = \frac{2(1+sin\alpha) }{cos \alpha (1+sin\alpha )} = \frac{2}{cos \alpha }}\)
po sprowadzeniu:)

[yoana91]

\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{1}{10}\\
W=\frac{2}{cos\alpha}=20}\)

a nie \(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{ \sqrt{10} }{10}\\
W=\frac{2}{cos\alpha}=2 \sqrt{10}}\) ?