Rozwiąż równanie trygonometryczne.

[szymek]

Rozwiąż równanie trygonometryczne:
\(\displaystyle{ tg^{4}x-2tg^{3}x-2tg^{2}x+6tgx-3=0}\)
\(\displaystyle{ t^{4}-2t^{3}-2t^{2}+6t-3=0}\)
Rozpisałem to szukając całkowitego rozwiązania równania (sprawdzając czy dzielnik wyrazu wolnego jest rozwiązaniem), dla t=1 było spełnione, więc podzieliłem wielomian przez (t-1) potem jeszcze raz to samo... i dostałem

\(\displaystyle{ (t-1)^{2}(t^{2}-3)=0}\)
\(\displaystyle{ t=1 \vee t= \sqrt{3} \vee t=- \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{4} +k\pi \vee x= \frac{\pi}{3}+k\pi \vee x= \frac{2\pi}{3}+k\pi}\)

Pytanie moje jest takie, czy wyniki są dobre, oraz drugie czy dało się to pogrupować jakoś przystępnie, aby nie używać zabawy z dzieleniem etc. a po prostu zauważyć coś, wyłączyć przed nawias itp. Siedziałem ładną chwilę i próbowałem rozpisać, aż zrezygnowałem i zacząłem z wielomianów.

I zadanie nr 2 :

Rozwiąż równanie

\(\displaystyle{ sinxcosx+tgx=2,5sinx}\)

\(\displaystyle{ sinxcosx+tgx=2,5sinx |*2cosx}\)

\(\displaystyle{ 2sinxcos^{2}x+2sinx=5sinxcosx |:sinx}\)

\(\displaystyle{ 2cos^{2}x -5cosx+2=0 |:sinx}\)

\(\displaystyle{ cosx=t}\)

\(\displaystyle{ 2t^{2}-5t+2=0}\)

\(\displaystyle{ t_{1}= \frac{1}{2} \vee t_{2}=2 \Leftarrow sprzeczne}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{3} +2k\pi \vee x= -\frac{\pi}{3} +2k\pi}\)

W odpowiedzi jest jeszcze \(\displaystyle{ x=2k\pi}\)

Proszę o podpowiedź gdzie zrobiłem/nie zrobiłem błędu.

Dzięki za pomoc.


Edit: W drugim zadaniu doszedlem teraz do tego, że musze zrobić założenie, iż \(\displaystyle{ cosx \neq 0}\) wtedy dostane te 2 wyniki, które mam, a osobno rozpatruje przypadek dla \(\displaystyle{ cosx=0}\)i wtedy faktycznie \(\displaystyle{ x=2k\pi}\) .

[rodzyn7773]

Pierwsze zadanie rozwiązane jest poprawnie. Co do tego czy grupowanie wyrazów byłoby dobre uważam, że w tym wypadku lepiej rozłożyć wielomian tak jak ty to zrobiłeś. Sam specjalnie nie widzę pomysłu na grupowanie wyrazów.

-- 13 mar 2010, o 10:34 --

W drugim zadaniu popraw zapis bo chyba coś nie wyszło.-- 13 mar 2010, o 10:41 --W drugim zadaniu po wyznaczeniu dziedziny przenieś wszystko na jedną stronę i wyłącz \(\displaystyle{ sinx}\) przed nawias. Dalej już chyba sobie poradzisz.

[szymek]

Przy założeniu, że\(\displaystyle{ cosx \neq 0}\) i wyłączeniu \(\displaystyle{ sinx}\) oraz rozpatrzeniu przypadków. Jeden z nich jest \(\displaystyle{ sinx=0}\) więc \(\displaystyle{ x=2k\pi}\) czy może jednak powinienem powiedzieć, że gdy\(\displaystyle{ sinx=0}\) to \(\displaystyle{ tgx=0}\)i policzyć x ze wzgledu na tg? Pytam bo z sinusa będzie \(\displaystyle{ x=2k\pi}\) a w odpowiedzi jest \(\displaystyle{ x=k\pi}\)


Edit: Już wiem po prostu krótszy zapis dla przypadku gdy sinx =0