Tożsamość tryg.

[SiKreto]

Mam za zadanie sprawdzić, czy podane równości są tożsamościami trygonometrycznymi i podać założenia.

1. \(\displaystyle{ \frac{\cos\alpha + \ctg\alpha}{\cos\alpha}= 1 + \frac{1}{\cos\alpha}}\)


2. \(\displaystyle{ \frac{1}{1-\cos\alpha}+\frac{1}{1+\cos\alpha}=\frac{2}{\sin^{2}\alpha}}\)

Niestety nauczyciel zadał te zadania nie tłumacząc tożsamości trygonometrycznej (brakło mu czasu), a w podręczniku nic nie ma na ten temat.

[Lbubsazob]

1)
Założenie \(\displaystyle{ cosx \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{cosx+ctgx}{cosx}= \frac{cosx}{cosx}+ \frac{1}{cosx}\\
\frac{cosx+ctgx}{cosx}= \frac{cosx+sin^2x+cos^2x}{cosx}\\
cosx+ctgx=cosx+sin^2x+cos^2x \\
cosx+ctgx-cosx=sin^2x+cos^2x \\
ctgx=1}\)
Równanie nie jest tożsamością.

2)
Założenie: \(\displaystyle{ \begin{cases} cosx \neq 1 \\ cosx \neq -1 \\ sinx \neq 0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-cosx}+ \frac{1}{1+cosx}= \frac{2}{sin^2x}\\
\frac{1+cosx}{(1-cosx)(1+cosx)}+ \frac{1-cosx}{(1-cosx)(1+cosx)} = \frac{2}{1-cos^2x}\\
\frac{1+cosx+1-cosx}{1^2-cos^2x}= \frac{2}{1-cos^2x}\\
\frac{2}{1-cos^2x}= \frac{2}{1-cos^2x}}\)
Równanie jest tożsamością.