udowodnij, że trójkąt jest prostokątny

[Bombelek2]

Wykaż, że jeżeli trójkąt nie jest rozwartokątny, oraz miara jednego z jego kątów spełnia warunek \(\displaystyle{ sinx + cosx \le \frac{2cos2x}{sin2x-2}}\) to trójkąt ten jest prostokątny.

stworzyłem takie coś po kilku linijkach (założyłem że sinx cdot cosx>0 bo skoro nie rozwartokątny to iloczyn dodatnich też dodatni tylko nie wiem czy może rówać się x=90 ale jeśli nie to tak mam)
\(\displaystyle{ (sinx+cosx)(sinxcosx) \le (cosx-sinx)(cosx+sinx)}\)

[xanowron]

Skoro trójkąt nie jest rozwartokątny to mamy \(\displaystyle{ x \in (0, \frac{\pi}{2}>}\)

Teraz rozwiążmy nierówność.

\(\displaystyle{ sinx + cosx \le \frac{2cos2x}{sin2x-2}}\)
\(\displaystyle{ sinx + cosx \le \frac{2(cos^2x-sin^2x)}{2sinxcosx-2}}\)
\(\displaystyle{ sinx + cosx \le \frac{(cosx-sinx)(cosx+sinx)}{sinxcosx-1}}\)
\(\displaystyle{ sinx + cosx - \frac{(cosx-sinx)(cosx+sinx)}{sinxcosx-1} \le 0}\)
\(\displaystyle{ (sinx + cosx)(1- \frac{(cosx-sinx)}{sinxcosx-1}) \le 0}\)
\(\displaystyle{ (sinx + cosx)(\frac{sinxcosx-1+sinx-cosx}{sinxcosx-1}) \le 0}\)
\(\displaystyle{ (sinx + cosx)(\frac{(sinx-1)(cosx+1)}{sinxcosx-1}) \le 0}\)
\(\displaystyle{ (sinx + cosx)(sinx-1)(cosx+1)(sinxcosx-1) \le 0}\)

I teraz:
Skoro \(\displaystyle{ x \in (0, \frac{\pi}{2}>}\) to:
\(\displaystyle{ sinx + cosx>0}\)
\(\displaystyle{ cosx+1>0}\)
\(\displaystyle{ sinxcosx-1<0}\)
Zatem: \(\displaystyle{ (sinx + cosx)(cosx+1)(sinxcosx-1)<0}\)

Dzieląc nierówność obustronnie przez \(\displaystyle{ (sinx + cosx)(cosx+1)(sinxcosx-1)}\) otrzymujemy:

\(\displaystyle{ sinx-1 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ sinx \ge 1}\)
Zatem \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi}\)
Co w połączeniu z naszą dziedziną daje \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}}\) co należało pokazać.