Witam
Mam takie zadanko, które zrobiłem ale nauczycielowi wyszedł inny wynik.
Założenie:
\(\displaystyle{ \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{3}}\)
Oblicz:
\(\displaystyle{ \tg^2 \alpha + \ctg^2 \alpha}\)
A oto mój tok myślenia:
\(\displaystyle{ (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = (\frac{1}{3})^2}\)
\(\displaystyle{ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{1}{9}}\)
\(\displaystyle{ 1 + 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{1}{9}}\)
\(\displaystyle{ 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha = - \frac{8}{9} / 2}\) obustronnie (nie wiem jak zrobić ten znak)
\(\displaystyle{ \sin \alpha \cdot \cos \alpha = - \frac{4}{9}}\) obustronnie do kwadratu
\(\displaystyle{ \cos^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha = \frac{16}{81}}\)
Teraz porządkujemy tangensa i cotangensa.
\(\displaystyle{ \tg^2 \alpha + \ctg^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha}{\cos^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha}= \frac{\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha}{\frac{16}{81}}=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha + 2\cos^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha - 2\cos^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha}{\frac{16}{81}} = \frac{(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2\cos^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha}{\frac{16}{81}}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1^2 - 2\cos^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha}{\frac{16}{81}} = \frac{1 - 2 \cdot \frac{16}{81}}{\frac{16}{81}} = \frac {1 - \frac{32}{81}}{\frac {16}{81}}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac {\frac{81}{81} - \frac{32}{81}}{\frac{16}{81}}= \frac{\frac{49}{81}}{\frac{16}{81}}}\) 81 się skraca
\(\displaystyle{ \frac{49}{16} = 3\frac{1}{16}}\)
Jak dla mnie to trochę dziwny wynik. Proszę o sprawdzenie mojego toku myślenia.
Wydaje mi się, że jednak nie mogę podnieść do kwadratu wyrażenia:
\(\displaystyle{ \sin \alpha \cdot \cos \alpha = - \frac{4}{9}}\)
Pozdrawiam
edit. poprawione parę błędów.