\(\displaystyle{ a= (sin 60 ^{o} + cos 60 ^{o} )^{2}
b= sin ^{2} 15 ^{o} - cos 30^{o} + cos ^{2} 15 ^{o}}\)
są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ W(x) = 4x^{3} - 8x^{2} + x}\)
Sprawdź czy liczby
-
chrzanu
- Użytkownik
- Posty: 51
- Rejestracja: 22 paź 2008, o 20:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sanok
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 4 razy
Sprawdź czy liczby
\(\displaystyle{ W(x)=4x^{3} - 8x^{2} + x=x(4x ^{2}-8x+1) \\
\Delta=64-16=48 \qquad \sqrt{\Delta}= \sqrt{48}=4\sqrt{3} \\
x=0 \vee x= \frac{8-4 \sqrt{3}}{8}= \frac {2-\sqrt{3}}{2} \vee x=\frac {2+ \sqrt{3}}{2} \\\
\\
a= (sin 60 ^{o} + cos 60 ^{o} )^{2}=( \frac { \sqrt{3}}{2}+ \frac {1}{2} ) ^{2}= \frac{(1+\sqrt{3}) ^{2} }{4}= \frac{1+2\sqrt{3}+3}{4}= \frac{2+\sqrt{3}}{2} \\}\)
W b skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ 15 ^{o}=45 ^{o} -30 ^{o}}\) i potem ze wzoru na \(\displaystyle{ sin( \alpha - \beta )}\) oraz \(\displaystyle{ cos( \alpha - \beta )}\)
\(\displaystyle{ b= sin ^{2} 15 ^{o} - cos 30^{o} + cos ^{2} 15 ^{o}=(sin(45^{o}-30^{o})) ^{2} - \frac { \sqrt{3}}{2}+(cos(45^{o}-30^{o})) ^{2}= (sin45^{o}cos30^{o}-cos45^{o}sin30^{o}) ^{2}-\frac {\sqrt{3}}{2}+(cos45^{o}cos30^{o}+sin45^{o}sin30^{o})^{2}}\)
Podstaw wartości, zobacz ile wyjdzie
\Delta=64-16=48 \qquad \sqrt{\Delta}= \sqrt{48}=4\sqrt{3} \\
x=0 \vee x= \frac{8-4 \sqrt{3}}{8}= \frac {2-\sqrt{3}}{2} \vee x=\frac {2+ \sqrt{3}}{2} \\\
\\
a= (sin 60 ^{o} + cos 60 ^{o} )^{2}=( \frac { \sqrt{3}}{2}+ \frac {1}{2} ) ^{2}= \frac{(1+\sqrt{3}) ^{2} }{4}= \frac{1+2\sqrt{3}+3}{4}= \frac{2+\sqrt{3}}{2} \\}\)
W b skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ 15 ^{o}=45 ^{o} -30 ^{o}}\) i potem ze wzoru na \(\displaystyle{ sin( \alpha - \beta )}\) oraz \(\displaystyle{ cos( \alpha - \beta )}\)
\(\displaystyle{ b= sin ^{2} 15 ^{o} - cos 30^{o} + cos ^{2} 15 ^{o}=(sin(45^{o}-30^{o})) ^{2} - \frac { \sqrt{3}}{2}+(cos(45^{o}-30^{o})) ^{2}= (sin45^{o}cos30^{o}-cos45^{o}sin30^{o}) ^{2}-\frac {\sqrt{3}}{2}+(cos45^{o}cos30^{o}+sin45^{o}sin30^{o})^{2}}\)
Podstaw wartości, zobacz ile wyjdzie