Wykazac nastepujące tozsamości

[Krzysiek200017]

\(\displaystyle{ \arctg x+\arctg \frac{1+x}{1-x}=\frac{ \pi}{4}\text{ dla }x\in (-1 ; \infty )\\
2\arctg x+\arcsin \frac{2x}{1+x^{2} }=\pi\text{sgn}\, x\\
3\arccos x-\arccos(3x-4x^{2})=\pi.}\)

jesli ktos mógłby mi pomóc jak krok po kroku rozwiazać to zadanie to byłbym bardzo wdzięczny

[pingu]

Podstawienie:
\(\displaystyle{ \alpha = \arctg x}\)
\(\displaystyle{ \beta = \arctg \frac{1+x}{1-x}}\)
\(\displaystyle{ \tg( \alpha + \beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha \tg\beta}=\tg\frac{ \pi}{4}}\)

więc:
\(\displaystyle{ \tg( \alpha + \beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha \tg\beta}= \frac{\tg(\arctg x)+\tg(\arctg \frac{1+x}{1-x})}{1-\tg(\arctg x) \cdot \tg(\arctg \frac{1+x}{1-x})}=\frac{x+ \frac{1+x}{1-x}}{1-x \cdot \frac{1+x}{1-x}}=...}\)

resztę proszę dokończyć.


pozdrawiam
pingu

[zaudi]

Albo pokaż, że pochodna jest funkcją stała czyli sprawdź czy pochodna ci wyjdzie 0 jak tak to dobierasz sobie x np w pierwszym przykładzie x=0:)

[act]

arctgx+arctg \(\displaystyle{ \frac{1+x}{1-x}}\) = \(\displaystyle{ \frac{ \pi}{4}}\) dla x \(\displaystyle{ \in}\) (-1 ; \(\displaystyle{ \infty}\) )
2arctgx+arcsin \(\displaystyle{ \frac{2x}{1+x^{2} }}\) = \(\displaystyle{ \pi}\) sgnx
3arccosx-arccos(3x-4\(\displaystyle{ x^{2}}\))= \(\displaystyle{ \pi}\)
jesli ktos mógłby mi pomóc jak krok po kroku rozwiazać to zadanie to byłbym bardzo wdzięczny

Widzę, że jest to zadanie ze zbioru Banasia. W odpowiedziach rozwiązany jest dokładnie pierwszy przykład. Resztę robi się analogicznie.

[Xardas962]

Albo pokaż, że pochodna jest funkcją stała czyli sprawdź czy pochodna ci wyjdzie 0 jak tak to dobierasz sobie x np w pierwszym przykładzie x=0:)

Policzyłem pochodną i niestety dużo jej brakuje do bycia zerem