najprostsza postać
-
damcios
- Użytkownik
- Posty: 341
- Rejestracja: 3 lis 2008, o 19:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: poznań
- Podziękował: 1 raz
najprostsza postać
\(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le \pi}\)Wyrażenie \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}cos \alpha } }}\) zapisz w najprostszej postaci.
-
matshadow
- Użytkownik
- Posty: 941
- Rejestracja: 17 gru 2007, o 21:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kingdom Hearts
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 222 razy
najprostsza postać
Jest taka tożsamość
\(\displaystyle{ |\cos\frac{\alpha}{2}|= \sqrt{ \frac{1+\cos\alpha}{2} }}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}cos \alpha } }=\sqrt{ \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{1+cos \alpha}{2} } }=\sqrt{ \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} |cos\frac{\alpha}{2}| } }}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le \pi}\), więc \(\displaystyle{ 0 \le \frac{\alpha}{2} \le \frac{\pi}{2}}\)
A dla takich kątów \(\displaystyle{ |cos\frac{\alpha}{2}| =cos\frac{\alpha}{2}}\)
Mamy zatem \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} cos\frac{\alpha}{2} } }=\sqrt{ \frac{1+cos\frac{\alpha}{2} }{2}}=|cos\frac{\alpha}{4}|=cos\frac{\alpha}{4}}\)
\(\displaystyle{ |\cos\frac{\alpha}{2}|= \sqrt{ \frac{1+\cos\alpha}{2} }}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}cos \alpha } }=\sqrt{ \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{1+cos \alpha}{2} } }=\sqrt{ \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} |cos\frac{\alpha}{2}| } }}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le \pi}\), więc \(\displaystyle{ 0 \le \frac{\alpha}{2} \le \frac{\pi}{2}}\)
A dla takich kątów \(\displaystyle{ |cos\frac{\alpha}{2}| =cos\frac{\alpha}{2}}\)
Mamy zatem \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} cos\frac{\alpha}{2} } }=\sqrt{ \frac{1+cos\frac{\alpha}{2} }{2}}=|cos\frac{\alpha}{4}|=cos\frac{\alpha}{4}}\)