Rozwiąż równianie.

[Crav]

Mam proste zadanko, które w 100% rozumiem, jednak mam 2 przykłady, które również wydawały mi się proste do czasu, aż zerknąłem do odpowiedzi ;/. Tak, więc:

\(\displaystyle{ a) tg3x = 1}\) w zbiorze \(\displaystyle{ (0; \pi )}\)
\(\displaystyle{ b) cos(2x + \frac{ \pi }{3}) = 1}\) w zbiorze \(\displaystyle{ <0; 2 \pi >}\)

Przykład a rozwiązuję w następujący sposób:

\(\displaystyle{ a) tg3x = 1}\)
\(\displaystyle{ 3x = \frac{ \pi }{4}/ :3}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{ \pi }{12}}\)

I jak dla mnie wszystko jest już spoko tylko w odpowiedziach a raczej w rozwiązaniu mam taki komentarz: Znajdujemy wszystkie rozwiązania równania przy założeniu \(\displaystyle{ 3x \neq \frac{ \pi }{2} + k \pi}\) I dalej:
\(\displaystyle{ 3x = \frac{ \pi }{4}+ k \pi / :3}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{ \pi }{12} + \frac{ k \pi }{3}}\) należy do \(\displaystyle{ (0; \pi )}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow k}\) należy do \(\displaystyle{ {0,1,2}}\)

I wtedy dalej należy rozwiązać równiania dla danych k. I mój problem tkwi w tym, że nie rozumiem dlaczego k należy do danego zbioru?

W kolejnym przykładzie zakładam, że k należy do zbioru {0,1} bo tak widzę z wykresu cosinusa, ale moje wyniki to \(\displaystyle{ x= -\frac{ \pi }{6}}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ x= \frac{5 \pi }{6}}\)
2 wynik się zgadza z odpowiedziami, jednak pierwszy w odpowiedziach to \(\displaystyle{ x= \frac{11 \pi }{6}}\) Co w sumie zgadzało by się z moim pierwszym wynikiem jeśli przesunę go o 2PI.
Byłbym bardzo wdzięczny jeżeli ktoś wytłumaczyłby mi skąd mam wiedzieć do jakiego zbioru należy k.

[piasek101]

1.\(\displaystyle{ tg3x=1}\)
Dziedzina.
Ponieważ okres tej funkcji jest 3 razy krótszy niż ,,zwykłego" tangensa jest on jak gdyby ,,ściśnięty - lewa , prawa".

Zatem nie wystarczy szukać rozwiązań wyjściowego w podanym przedziale, a trzeba je znaleźć ogólnie. I ze wszystkich wybrać te które złapią się w przedziale.

Dlatego masz :

\(\displaystyle{ 3x=0,25\pi +k\pi}\) dzielisz przez (3) - tak jak podają

\(\displaystyle{ x=...}\) i wybierasz te z podanego przedziału; to zachodzi dla podanych przez nich (k)

2. Analogicznie.

[Crav]

Czyli rozumiem, że mogę sobie wybrać nawet większy zbiór k np k należace do {0,1,2,3,4,5} policzyć dla każdego i wyeliminować te które nie mieszczą się w przedziale??

[smigol]

w rozwiązaniu wzięli nawet wszystkie liczby całkowite.

[piasek101]

Czyli rozumiem, że mogę sobie wybrać nawet większy zbiór k np k należace do {0,1,2,3,4,5} policzyć dla każdego i wyeliminować te które nie mieszczą się w przedziale??

Tak - o to mi chodziło ,,ze wszystkich wybrać te które złapią się w przedziale".