(1) \(\displaystyle{ 4sin^2x+sin^22x=3}\)
po zastosowaniu wzoru na sinus podwojonego kąta, skorzystania z jedynki trygonometrycznej, a nastepnie podstawieniu \(\displaystyle{ sin^2x=t}\) Dostaję, że:
\(\displaystyle{ sinx= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) czyli \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{4}+2k \pi}\)
lub \(\displaystyle{ sinx=- \frac{ \pi }{4}+2k \pi}\)
Nie było mnie trochę w szkole i nie potrafię wyznaczać sumy tych zbiorów (odpowiedź twierdzi, że \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{4}+ \frac{k \pi }{2}}\)), mógłby ktoś łopatologicznie wyjaśnić??
(2) \(\displaystyle{ 4sin \left( \pi \cdot x \right)=4x^2-4x+5}\)
Tutaj nie mam pojęcia jak zacząć (przykład jest przepisany prawidłowo, nauczycielka trzy razy nam powtarzała, że tam nie ma minusa albo plusa w argumencie sinusa)
2 równania trygonometryczne
2 równania trygonometryczne
Zacznijmy od przekształcenia "jedynki":
\(\displaystyle{ sin^2x+cos^2x=1}\)
\(\displaystyle{ sin^2x=1-cos^2x}\) (1)
\(\displaystyle{ 4sin^2x+sin^22x=3}\)
\(\displaystyle{ 4sin^2x+(2sinxcosx)^2=3}\)
\(\displaystyle{ 4sin^2x+4sin^2xcos^2x=3}\)
\(\displaystyle{ 4sin^2x(1+cos^2x)=3}\) (2)
Wstawiamy (1) do (2):
\(\displaystyle{ 4(1-cos^2x)(1+cos^2x)=3}\)
\(\displaystyle{ 1-cos^4x=\frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{ cos^4x=\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ |cosx|=\frac{1}{\sqrt[4]{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ cosx=\frac{\sqrt{2}}{2} \vee cosx=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \vee x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi \vee x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi \vee x=-\frac{3\pi}{4}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin^2x+cos^2x=1}\)
\(\displaystyle{ sin^2x=1-cos^2x}\) (1)
\(\displaystyle{ 4sin^2x+sin^22x=3}\)
\(\displaystyle{ 4sin^2x+(2sinxcosx)^2=3}\)
\(\displaystyle{ 4sin^2x+4sin^2xcos^2x=3}\)
\(\displaystyle{ 4sin^2x(1+cos^2x)=3}\) (2)
Wstawiamy (1) do (2):
\(\displaystyle{ 4(1-cos^2x)(1+cos^2x)=3}\)
\(\displaystyle{ 1-cos^4x=\frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{ cos^4x=\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ |cosx|=\frac{1}{\sqrt[4]{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ cosx=\frac{\sqrt{2}}{2} \vee cosx=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \vee x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi \vee x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi \vee x=-\frac{3\pi}{4}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}}\)
2 równania trygonometryczne
\(\displaystyle{ 4sin \left( \pi \cdot x \right)=4x^2-4x+5}\)
Robiłbym graficznie.
Rysujemy \(\displaystyle{ 4x^2-4x+5}\), a następnie \(\displaystyle{ 4sin \left( \pi \cdot x \right)}\).
Aby otrzymać wykres sinusa rysujemy po kolei:
\(\displaystyle{ sin(x)}\)
\(\displaystyle{ sin(\pi \cdot x)}\)
\(\displaystyle{ 4sin(\pi \cdot x)}\)
Przy rysowaniu wykresów pamiętaj o dobrym wyskalowaniu osi.
Teraz wystarczy znaleźć punkt, w którym oba wykresy się przecinają.
\(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\)-- 27 lut 2010, o 22:12 --
Rozwiązanie postaci \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}}\) uwzględnia 4 pozostałe rozwiązania.
Aby zrozumieć istotę ostatniej części zadania proponuję Ci narysować fragment osi OX z przedziału \(\displaystyle{ (-2\pi;2\pi)}\) z podziałką co \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) i pozaznaczać, które punkty "łapią" nasze 4 rozwiązania. Okazuje się, że będą to nieparzyste wielokrotności liczby \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\). Z kolei wzór \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}}\) określa właśnie nieparzyste wielokrotności tej liczby.
Robiłbym graficznie.
Rysujemy \(\displaystyle{ 4x^2-4x+5}\), a następnie \(\displaystyle{ 4sin \left( \pi \cdot x \right)}\).
Aby otrzymać wykres sinusa rysujemy po kolei:
\(\displaystyle{ sin(x)}\)
\(\displaystyle{ sin(\pi \cdot x)}\)
\(\displaystyle{ 4sin(\pi \cdot x)}\)
Przy rysowaniu wykresów pamiętaj o dobrym wyskalowaniu osi.
Teraz wystarczy znaleźć punkt, w którym oba wykresy się przecinają.
\(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\)-- 27 lut 2010, o 22:12 --
Nie mieliście na lekcji zbierania wyników na tzw. kole trygonometrycznym?gendion pisze:No dobra, dzięki, ale ja nadal nie rozumiem, dlaczego suma tych zbiorów jest właśnie taka?
Rozwiązanie postaci \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}}\) uwzględnia 4 pozostałe rozwiązania.
Aby zrozumieć istotę ostatniej części zadania proponuję Ci narysować fragment osi OX z przedziału \(\displaystyle{ (-2\pi;2\pi)}\) z podziałką co \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) i pozaznaczać, które punkty "łapią" nasze 4 rozwiązania. Okazuje się, że będą to nieparzyste wielokrotności liczby \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\). Z kolei wzór \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}}\) określa właśnie nieparzyste wielokrotności tej liczby.