Dziedzina Funkcji cyklometrycznej

naukowiec23 · Post autor: **naukowiec23** » 27 lut 2010, o 19:05

Nie wiem za bardzo jak wyznaczyć dziedzinę tej funkcji:

\(\displaystyle{ f(x)=arcsin(1- \sqrt{x})}\)

Doszedłem tylko do tego

\(\displaystyle{ -1 \le \frac{1}{2} \le 1}\)

I nierówność

\(\displaystyle{ -1 \le \frac{1}{x} /*x}\)

\(\displaystyle{ -x \le 1/*-1}\)

\(\displaystyle{ x \ge -1}\)

Podobnie zrobiłem z drugim, ale nie wychodzi mi dobrze :/

rodzyn7773 · Post autor: **rodzyn7773** » 27 lut 2010, o 19:14

Dziedziną funkcji arc sinx jest zbiór wartości funkcji sinus czyli:
\(\displaystyle{ -1 \le 1- \sqrt{x} \le 1 \wedge x \ge 0 \\ -2 \le - \sqrt{x} \le 0 \wedge x \ge 0 \\ 0 \le \sqrt{x} \le 2 \wedge x \ge 0}\)
Po założeniu, że \(\displaystyle{ x \ge 0}\) ze względu na dziedzinę pierwiastka kwadratowego pozostaje policzyć:
\(\displaystyle{ \sqrt{x} \le 2}\)

naukowiec23 · Post autor: **naukowiec23** » 27 lut 2010, o 19:27

ajj, cos mi sie popieprzyło... miała być ta funkcja: Nie wiem za bardzo jak wyznaczyć dziedzinę tej funkcji:

\(\displaystyle{ f(x)=arcsin \frac{1}{x}}\)

\(\displaystyle{ -1 \le \frac{1}{x} \le 1}\)

I nierówność

\(\displaystyle{ -1 \le \frac{1}{x} /*x}\)

\(\displaystyle{ -x \le 1/*-1}\)

\(\displaystyle{ x \ge -1}\)

Podobnie zrobiłem z drugą nierównością, ale nie wychodzi mi dobrze :/

A te powyżej to dziedzina wychodzi \(\displaystyle{ D=<0,4>}\)?

rodzyn7773 · Post autor: **rodzyn7773** » 27 lut 2010, o 20:32

To powyższe tak właśnie wychodzi. Co do twoich obliczeń nie możesz pomnożyć nierówności przez niewiadomą gdyż nie znasz jej znaku. Przenieś wszystko na jedną stronę i wtedy licz. Pamiętaj, że \(\displaystyle{ x \neq 0}\)

naukowiec23 · Post autor: **naukowiec23** » 27 lut 2010, o 20:55

Właśnie w tym problem że nie za bardzo pamiętam jak to się mnożyło obustronnie przez x. Pamiętam coś że zakładało się, że raz x jest mniejszy od zera a drugi raz że większy. Tak robie i wychodzi mi coś takiego:

\(\displaystyle{ -1 \le \frac{1}{x} \le 1}\)

Pierwszy warunek:

\(\displaystyle{ -1 \le \frac{1}{x}/*x}\) zakładam, że x>0

\(\displaystyle{ -x \le 1/*(-1)}\)

\(\displaystyle{ x \ge -1}\)

\(\displaystyle{ -1 \le \frac{1}{x}/*x}\) zakładam, że x<0

\(\displaystyle{ -x \ge 1/*(-1)}\)

\(\displaystyle{ x \le -1}\)

Drugi warunek:

\(\displaystyle{ \frac{1}{x} \le 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{x} \le 1/*x}\) zakładam że x>0

\(\displaystyle{ 1 \le x}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{x} \le 1/*x}\) zakładam że x<0

\(\displaystyle{ 1 \ge x}\)

Co prawda można już z tego wykminić dziedzinę, ale jak to matematycznie zapisać?