wyznacz zbiór wartości funkcji

[mycha-mycha1]

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \frac{ctgx+tgx}{2(ctg-tgx)}-1}\)
określona dla \(\displaystyle{ x \in (0, \frac{ \pi }{4} )}\)
wyznacz zbiór wartości tej funkcji

Jak doprowadzić funkcję do prostszej postaci?

[Lbubsazob]

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{cosx}{sinx}+ \frac{sinx}{cosx} }{2( \frac{cosx}{sinx}- \frac{sinx}{cosx}) }-1=0 \\
\frac{ \frac{cos^2x+sin^2x}{sinx\cdot cosx} }{2( \frac{cos^2x-sin^2x}{sinx\cdot cosx} })=1 \\
\frac{1}{sinx\cdot cosx}\cdot 2 \frac{sinx\cdot cosx}{cos^2x-sin^2x}= 1 \\
\frac{2}{cos^2x-sin^2x}=1 \\
\frac{2}{cos2x}=1 \\
2=cos2x \\
t=2x \\
cost=2}\)
równanie nie ma rozwiązań (\(\displaystyle{ cost \in <-1,1>}\))

[mat_61]

1. Tutaj nie należało szukać miejsc zerowych tylko zbiór wartości funkcji
2. W przekształceniach jest błąd pomijając nawet to przyrównanie funkcji do zera (dwójka powinna być w mianowniku a nie w liczniku)

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{cos^2x+sin^2x}{sinx\cdot cosx} }{2( \frac{cos^2x-sin^2x}{sinx\cdot cosx} })=1 \\
\frac{1}{sinx\cdot cosx}\cdot 2 \frac{sinx\cdot cosx}{cos^2x-sin^2x}= 1}\)

Powinno być tak:

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{ \frac{cos^2x+sin^2x}{sinx\cdot cosx} }{2( \frac{cos^2x-sin^2x}{sinx\cdot cosx} })-1 \\
f(x)=\frac{1}{sinx\cdot cosx}\cdot \frac{sinx\cdot cosx}{2(cos^2x-sin^2x)}-1 \\
f(x)= \frac{1}{2cos2x} -1}\)

A teraz już widać jakie wartości przyjmuje ta funkcja jeżeli \(\displaystyle{ cos2x}\) przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ <-1;1>}\).

[Lbubsazob]

mat_61, dobrze że zauważyłeś
Teraz już widzę, co jest źle, nie wiem co mi strzeliło do głowy, żeby to 2 napisać w liczniku?

[mycha-mycha1]

po długich obliczeniach udało mi się dojść do końcowej postaci ale mam problem z odczytaniem wartości
Obecność licznika ogranicza moje myślenie...
może mi ktoś wyjaśnić jak odczytac te wartości?

[mat_61]

1.
Mianownik przyjmuje wartości:

\(\displaystyle{ <-2;0) \cup (0,2>}\)

2.
\(\displaystyle{ Jezeli \ x \in \ <-2;0) \Rightarrow \frac{1}{x} \in \left( - \infty;- \frac{1}{2} \right>}\)

3.
\(\displaystyle{ Jezeli \ x \in \ (0;2> \Rightarrow \frac{1}{x} \in \left< \frac{1}{2};+\infty \right)}\)

4.
Ponieważ poza ułamkiem jest jeszcze (-1) to wszystkie wartości funkcji należy zmniejszyć o tą wartość.

5.
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ f(x) \in \left( - \infty ;- \frac{3}{2} \right> \cup \left<- \frac{1}{2};+ \infty \right)}\)

Czy to wyjaśnienie Ci wystarczy?