Tożsamość trygonometryczna .

lvl4t3usz · Post autor: **lvl4t3usz** » 27 lut 2010, o 16:08

Tożsamość trygonometryczna :

\(\displaystyle{ \frac{1+sin2 \alpha }{cos2 \alpha } = \frac{1+tg \alpha }{1-tg \alpha }}\) Próbuje przekształcić prawą stronę , ale nie mogę dojść do momentu aż otrzymam lewą ... wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{cos \alpha +sin \alpha }{cos \alpha -sin \alpha }}\) starałem się nie skracać tego i szukałem dojścia do lewej strony , no ale nie jestem w stanie .

Dodatkowo byłbym wdzięczny jakby mi ktoś sprawdził czy dobrze obliczylem takei coś : \(\displaystyle{ sin \frac{pi}{12}+ cos \frac{pi}{12}}\) otrzymałem wynik \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) .

zati61 · Post autor: **zati61** » 27 lut 2010, o 16:31

jak nie wiesz to z boku przeksztalc sobie troszke L: \(\displaystyle{ L= \frac{sin^2a+2sinacosa+cos^2a}{cos^2a-sin^2a}=( \frac{(sina+cosa)^2}{(cosa-sina)(cosa+sina)}}\)

może i L=....=P(czy na odwrót) jest ładne i estetyczne, ale możesz przekształcić zawsze obie strony jeśli sprawia ci trudność cośtam- oba sposoby są poprawne matem.

co do drugiego:
\(\displaystyle{ sinx+cosx= \sqrt{2}sin(x+ \frac{\pi}{4})}\) nie wyjdzie tu sam pierw.z 3

lvl4t3usz · Post autor: **lvl4t3usz** » 27 lut 2010, o 16:43

Próbowałem i tak , ale przecież tożsamość i tak nie jest jeszcze spełniona ...

zati61 · Post autor: **zati61** » 27 lut 2010, o 17:13

no jak to.
Doszedles do tego: \(\displaystyle{ \frac{cos \alpha +sin \alpha }{cos \alpha -sin \alpha }}\)
wiec wystarczy wymnozyc przez sprezenie mianownika i doprowadzic do P korzystajac z tego co napisalem

lvl4t3usz · Post autor: **lvl4t3usz** » 27 lut 2010, o 18:13

Faktycznie pierwsze się zgadza .
Co do tego drugiego to nie można zrobić w taki sposób że
pi/12 przedstawię w mierze łukowej , potem użyję wzorów redukcyjnych , a następnie zapiszę je w postaci takich kątów których wartości mogę odczytać z tabelki tzn tak :

\(\displaystyle{ sin15 +cos15 = sin(90-75) + cos (90-75)= cos 75 + sin 75 = cos ( 45 + 30 ) + sin ( 45 + 30 ) = cos 45 \cdot cos30 - sin45 \cdot sin30+ sin45 \cdot cos30 + cos45 \cdot sin30}\) i po obliczeniu wyszedł \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) Nie wiem czy tam można bo długo mnie na lekcjach nie było ;l

zati61 · Post autor: **zati61** » 27 lut 2010, o 22:32

może i tak, ale patrz ile liczenia, szybciej jest skorzystac z sumy sinusow:
\(\displaystyle{ sinx+cosx=sinx+sin(x+ \frac{\pi}{2})= \sqrt{2} sin(x+ \frac{\pi}{4}}\) i wynik wychodzi zdecydowanie szybciej.
Twoj sposób jest dobry gdybys na pamiec znal wzory redukcyjne(lub chociaz metode jej zapamietania>nie jest trudna), ale skoro mozesz korzystac z wszystkich wzorow to po co utrudniac sobie robote?

\(\displaystyle{ sin15+cos15= \sqrt{2}sin( \frac{\pi}{12} x+ \frac{\pi}{4})= \sqrt{2}sin60= \frac{ \sqrt{6}}{2}}\)