"Wykaż, że..." z funkcjami trygonometrycznymi

[rlc]

Witam
Na dzisiejszej pracy klasowej miałem do rozwiązanie takie oto zadanie:
Wykaż, że:
\(\displaystyle{ \tg \alpha + \ctg \alpha \ge 2}\)

Rozwiązałem je w sposób następujący:
\(\displaystyle{ \tg \alpha + \ctg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}}\)

zatem

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} \ge 2}\)

Dalej nie wiem jak to rozpisać (i czy w ogóle się da). Do tego rozwiązania dodałem wyjaśnienie: "Wyrażenie \(\displaystyle{ \sin \alpha \cos \alpha}\) osiąga maksymalną wartość dla \(\displaystyle{ \alpha = 45 ^{o}}\) a wartość ta wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), w każdym innym wypadku iloczyn \(\displaystyle{ \sin \alpha \cos \alpha}\) będzie mniejszy od dwóch więc całe wyrażenie będzie większe bądź równe 2. c.n.d."

Zastanawiałem się też nad tym, czy zadanie nie jest źle sformułowane, bo przecież iloczyn z mianownika dla kąta np. z II ćwiartki byłby ujemny. Czy mógłby mi ktoś wyjaśnić czy zrobiłem to dobrze a jeśli nie to gdzie jst błąd? Z góry dziękuję za pomoc.

[smigol]

Nieprawda. alfa=150 stopni

Nie było dodatkowych założeń? Np. alfa jest z pierwszej ćwiartki?

[rlc]

No właśnie nie było nic innego, żadnych innych założeń, tylko zdanie "Wykaż, że..." i to wyrażenie, dlatego tak się zastanawiam nad tym zadaniem. Nie zrozumiałem o co Ci chodzi z tą alfą równą 150 stopni, mógłbyś wyjaśnić?

[rodzyn7773]

Też wydaje mi się, że powinno być takie zastrzeżenie. Wtedy można dalej rozwiązywać:

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} \ge 2 \\ \frac{1}{2sin \alpha cos \alpha } \ge 1 \\ \frac{1}{sin(2 \alpha) } \ge 1}\)

I wiedząc, że \(\displaystyle{ sin(2 \alpha ) \in <0,1>}\) otrzymujemy tożsamość.

[smigol]

że dla alfa=150 stopni ta nierówność nie zachodzi (tg i ctg ujemny).

rodzyn7773, ok, ale gdzie Ty widzisz tożsamość?

[rlc]

że dla alfa=150 stopni ta nierówność nie zachodzi (tg i ctg ujemny).

rodzyn7773, ok, ale gdzie Ty widzisz tożsamość?

Nierówność nie zachodzi dla dowolnego kąta z II lub IV ćwiartki bo w tych ćwiartkach znaki funkcji sin i cos są przeciwne więc iloczyny byłyby ujemne, więc nierówność nie zajdzie, o tym wiem, dlatego zastanawiam się czy zadanie nie jest źle sformułowane (brak założenia, że alfa należy do I ćwiartki).

[rodzyn7773]

Faktycznie zagalopowałem się z tą tożsamością

[smigol]

że dla alfa=150 stopni ta nierówność nie zachodzi (tg i ctg ujemny).

rodzyn7773, ok, ale gdzie Ty widzisz tożsamość?

Nierówność nie zachodzi dla dowolnego kąta z II lub IV ćwiartki bo w tych ćwiartkach znaki funkcji sin i cos są przeciwne więc iloczyny byłyby ujemne, więc nierówność nie zajdzie, o tym wiem, dlatego zastanawiam się czy zadanie nie jest źle sformułowane (brak założenia, że alfa należy do I ćwiartki).

Ja nie po polsku mówię? Skoro podałem kontrprzykład, że dla pewnego kąta nie zachodzi wyjściowa nierówność to chyba jasne, że nierówność nie zachodzi dla dowolnego kąta? oO
Tak, zadanie jest błędnie sformułowane.