Tożsamości trygonometryczne

[Diabolii]

Mam problem z dwoma.
a)\(\displaystyle{ \frac{tg \alpha }{sin \alpha }}\)
Ja to robię tak: \(\displaystyle{ \frac{ \frac{sin \alpha }{cos \alpha } }{sin \alpha } = \frac{sin ^{2} \alpha }{cos \alpha }}\)
Próbowałem wykorzystać to:\(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha =1-cos ^{2} \alpha}\)ale nie wyszło
Poprawny wynik:\(\displaystyle{ \frac{1}{cos \alpha }}\)

b)\(\displaystyle{ sin \alpha \cdot \sqrt{1+ctg ^{2} \alpha } , \alpha E( \frac{ \pi }{2}, \pi )}\)
Wiem że kąt leży w II ćwiartce a więc \(\displaystyle{ ctg ^{2}}\) będzie ujemny. A co z jedynką? Skąd wiedzieć czy dodatnia czy ujemna?
Ja robiłem tak \(\displaystyle{ sin \alpha \cdot \sqrt{1+ctg ^{2} \alpha }=sin \alpha \cdot 1+ \frac{cos \alpha }{sin \alpha } =cos \alpha}\) Coś nie tak ;/
Poprawny wynik:1
Z góry dzięki za pomoc

[agulka1987]

a)

\(\displaystyle{ \frac{tg \alpha }{sin \alpha } = \frac{ \frac{sin \alpha }{cos \alpha } }{sin \alpha } = \frac{sin \alpha }{cos \alpha } \cdot \frac{1}{sin \alpha } = \frac{1}{cos \alpha }}\)

[kwadracik23]

1. \(\displaystyle{ \frac{tg \alpha }{sin \alpha }=\frac{ \frac{sin \alpha }{cos \alpha } }{sin \alpha }=\frac{sin \alpha }{cos \alpha } \cdot \frac{1}{sin \alpha} = \frac{1}{cos \alpha}}\)

2. \(\displaystyle{ sin\alpha \cdot \sqrt{1+ctg ^{2} \alpha}=sin\alpha \cdot \sqrt{1+ \frac{cos ^{2}\alpha }{sin ^{2}\alpha }} = sin\alpha \cdot \sqrt{ \frac{sin ^{2}\alpha+cos ^{2}\alpha}{sin ^{2}\alpha} } = sin\alpha \cdot \sqrt{ \frac{1}{sin ^{2}\alpha} } = sin\alpha \cdot \frac{1}{sin\alpha}=1}\)

[yuio]

w perwszym przykładzie dobrze zacząłes tylko że

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{a}{b} }{a} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{a}= \frac{1}{b}}\)

w drugim nie możesz osobno spierwiastkować składników pod pierwiastkiem, spróbuj raczej wciągną\(\displaystyle{ sin \alpha}\)pod pierwiastek

[agulka1987]

b)
\(\displaystyle{ sin \alpha \cdot \sqrt{1+ctg^2 \alpha } = sin \alpha \cdot \sqrt{1+ \frac{cos^2 \alpha }{sin^2 \alpha } } = sin \alpha \cdot \sqrt{ \frac{sin^2 \alpha +cos^2 \alpha }{sin^2 \alpha } } = sin \alpha \sqrt{ \frac{1}{sin^2 \alpha } } = sin \alpha \cdot \frac{1}{sin \alpha } =1}\)

[Diabolii]

Ale wtopa z tym pierwszym. Za takie błąd w szkole przy tablicy miałbym już 10min wykład na temat nie uważania na matematyce w podstawówce.-- 26 lut 2010, o 13:01 --A takie rozwiązanie 2 nadaje się:
\(\displaystyle{ sin \alpha \cdot \sqrt{ 1+ctg ^{2} \alpha } = \sqrt{ sin ^{2} \alpha \cdot (1+ctg ^{2} \alpha }) = \sqrt{} sin ^{2} \alpha +sin ^{2} \alpha \cdot \frac{cos ^{2} \alpha }{sin ^{2} } }=1}\)

[yuio]

tak