Dziedzina i sprawdzenie tożsamosci

[norbi123]

Tak jak w temacie muszę podać dziedzinę i sprawdzić tozsamosc:
\(\displaystyle{ tg^{2} \frac{ \alpha }{2} = \frac{1-cos \alpha }{1+cos \alpha }}\)

Probowałem rozpisac lewa strone

\(\displaystyle{ tg^{2} \frac{ \alpha }{2} = \frac{sin^{2} \frac{ \alpha }{2} }{cos^{2} \frac{ \alpha }{2} }}\)

i dalej myslalem zeby \(\displaystyle{ sin^{2} \frac{ \alpha }{2}}\) rozpisac z jedynki ale ta polowka \(\displaystyle{ \alpha}\) mnie przerasta i nie wiem jak to rozpisac

[zati61]

jak cie przerasta to podstaw: \(\displaystyle{ a:2a}\) (w miejsce a staw 2a) i rozpisz prawa strone

[norbi123]

nie rozumiem do końca o co chodzi w Twojej podpowiedzi

[yuio]

podstaw \(\displaystyle{ \beta = \frac{ \alpha }{2}}\)

\(\displaystyle{ 2 \beta = \alpha}\)

i spróbuj teraz

[norbi123]

przekształciłem prawą strone i udowodniłem tozsamosc tak ja poniżej
\(\displaystyle{ tg^{2} \alpha = \frac{1-cos2 \alpha }{1+cos2 \alpha }= \frac{1-cos^{2} \alpha + sin^{2} \alpha } {1+2cos^{2} \alpha -1} = tg^{2} \alpha}\)
L=P

ale mam problem z drugą czescia zadania ktora brzmi nastepująco:
Cosinus kąta ostrego \(\displaystyle{ \alpha}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\). Korzystając z powyzszej tosamosci oblicz wartosc sumy \(\displaystyle{ tg \frac{ \alpha }{4} + tg \frac{ \alpha }{2} + tg \frac{ 3\alpha }{4}+tg \alpha}\). Wyni podać w najprostszej postaci.

[zati61]

może z sumy tangensów?
\(\displaystyle{ tg(a+b)= \frac{tga\ +\ tgb}{1-\ tga \ tgb}}\)
czyli \(\displaystyle{ tg \frac{ \alpha }{4}= \frac{2 tg \frac{ \alpha }{2}}{1- tg^2 \frac{ \alpha }{2}}\\
tg \frac{ 3\alpha }{4}+tg \alpha= tg( \frac{1}{2}a+ \frac{1}{4}a )}\)

pozostaje nam tga, ale jego obliczysz, obliczajac sina z jedynki trygonometrycznej