a) Sprawdź, czy równość
\(\displaystyle{ \sin\left(\alpha+\beta\right) \cdot \sin\left(\alpha-\beta \right)= \sin^{2}\alpha - sin^{2}\beta}\)
jest tożsamością trygonometryczną
b) Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) są dwoma kątami ostrymi trójkąta i \(\displaystyle{ \sin\left(\alpha+\beta\right) \cdot \sin\left(\alpha-\beta \right)= \sin^{2}\alpha - sin^{2}\beta}\) to trójkąt ten jest trójkątem prostokątnym lub równoramiennym.
Tożsamość trygonometryczna, kąty w trójkącie
-
Malutka_Ida
- Użytkownik
- Posty: 41
- Rejestracja: 22 lut 2010, o 08:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5 razy
Tożsamość trygonometryczna, kąty w trójkącie
a)
\(\displaystyle{ sin( \alpha + \beta ) \cdot sin( \alpha - \beta ) = sin ^{2} \alpha - sin ^{2} \beta}\)
Przy tego typu zadaniach trzeba skorzystać z odpowiednich wzorów
\(\displaystyle{ L = sin( \alpha + \beta ) \cdot sin( \alpha - \beta) =
= (sin \alpha \cdot cos \beta + cos \alpha \cdot sin \beta) \cdot (sin \alpha \cdot cos \beta - cos \alpha \cdot sin \beta ) =
= sin ^{2} \alpha \cdot cos ^{2} \beta - sin \alpha \cdot cos \alpha \cdot sin \beta \cdot cos \beta + sin \alpha \cdot cos \alpha \cdot sin \beta \cdot cos \beta - cos ^{2} \alpha \cdot sin^{2} \beta =
= sin ^{2} \alpha \cdot cos ^{2} \beta - cos ^{2} \alpha \cdot sin ^{2} \beta =
= sin ^{2} \alpha \cdot (1 - sin ^{2} \beta ) - (1 - sin ^{2} \alpha ) \cdot sin ^{2} \beta =
= sin ^{2} \alpha - sin ^{2} \alpha \cdot sin ^{2} \beta - (sin ^{2} \beta - sin ^{2}\alpha \cdot sin ^{2} \beta )=
= sin ^{2} \alpha - sin ^{2} \alpha \cdot sin ^{2} \beta - sin ^{2} \beta + sin ^{2} \alpha \cdot sin ^{2} \beta =
= sin ^{2} \alpha - sin ^{2} \beta}\)
\(\displaystyle{ P = sin ^{2} \alpha - sin ^{2} \beta}\)
\(\displaystyle{ L = P}\)
Więc podana równość jest tożsamością trygonometryczną
Wzory z których trzeba było skorzystać:
Sinus sumy kątów:
\(\displaystyle{ sin( \alpha + \beta ) = sin \alpha \cdot cos \beta + cos \alpha \cdot sin \beta}\)
Sinus różnicy kątów:
\(\displaystyle{ sin( \alpha - \beta ) = sin \alpha \cdot cos \beta - cos \alpha \cdot sin \beta}\)
Jedynka trygonometryczna:
\(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha + cos ^{2} \alpha = 1}\)
\(\displaystyle{ sin( \alpha + \beta ) \cdot sin( \alpha - \beta ) = sin ^{2} \alpha - sin ^{2} \beta}\)
Przy tego typu zadaniach trzeba skorzystać z odpowiednich wzorów
\(\displaystyle{ L = sin( \alpha + \beta ) \cdot sin( \alpha - \beta) =
= (sin \alpha \cdot cos \beta + cos \alpha \cdot sin \beta) \cdot (sin \alpha \cdot cos \beta - cos \alpha \cdot sin \beta ) =
= sin ^{2} \alpha \cdot cos ^{2} \beta - sin \alpha \cdot cos \alpha \cdot sin \beta \cdot cos \beta + sin \alpha \cdot cos \alpha \cdot sin \beta \cdot cos \beta - cos ^{2} \alpha \cdot sin^{2} \beta =
= sin ^{2} \alpha \cdot cos ^{2} \beta - cos ^{2} \alpha \cdot sin ^{2} \beta =
= sin ^{2} \alpha \cdot (1 - sin ^{2} \beta ) - (1 - sin ^{2} \alpha ) \cdot sin ^{2} \beta =
= sin ^{2} \alpha - sin ^{2} \alpha \cdot sin ^{2} \beta - (sin ^{2} \beta - sin ^{2}\alpha \cdot sin ^{2} \beta )=
= sin ^{2} \alpha - sin ^{2} \alpha \cdot sin ^{2} \beta - sin ^{2} \beta + sin ^{2} \alpha \cdot sin ^{2} \beta =
= sin ^{2} \alpha - sin ^{2} \beta}\)
\(\displaystyle{ P = sin ^{2} \alpha - sin ^{2} \beta}\)
\(\displaystyle{ L = P}\)
Więc podana równość jest tożsamością trygonometryczną
Wzory z których trzeba było skorzystać:
Sinus sumy kątów:
\(\displaystyle{ sin( \alpha + \beta ) = sin \alpha \cdot cos \beta + cos \alpha \cdot sin \beta}\)
Sinus różnicy kątów:
\(\displaystyle{ sin( \alpha - \beta ) = sin \alpha \cdot cos \beta - cos \alpha \cdot sin \beta}\)
Jedynka trygonometryczna:
\(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha + cos ^{2} \alpha = 1}\)
-
JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Tożsamość trygonometryczna, kąty w trójkącie
Jeżeli dobrze widzę z rozwiązania Idy, to jest to tożsamość, czyli zachodzi dla dowolnego \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\). Dla \(\displaystyle{ \alpha = 45^\circ}\) i \(\displaystyle{ \beta = 30^\circ}\) - czyli kątów niezgodnych z tezą zadania, mamy:
\(\displaystyle{ \sin(45^\circ + 30^\circ) \cdot \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin^2 45^\circ - \sin^2 30^\circ}\)
\(\displaystyle{ \sin(75^\circ) \cdot \sin(15^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) ^2 -\left(\frac{1}{2}\right) ^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} = \frac{1}{4}}\)
Równość mimo niezgodności z tezą.
\(\displaystyle{ \sin(45^\circ + 30^\circ) \cdot \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin^2 45^\circ - \sin^2 30^\circ}\)
\(\displaystyle{ \sin(75^\circ) \cdot \sin(15^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) ^2 -\left(\frac{1}{2}\right) ^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} = \frac{1}{4}}\)
Równość mimo niezgodności z tezą.
-
anna_
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
Tożsamość trygonometryczna, kąty w trójkącie
To tak na przyszłość: w b) jest błąd. Powinno być:
b) Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) są dwoma kątami ostrymi trójkąta i \(\displaystyle{ \sin\left(\alpha-\beta \right)= \sin^{2}\alpha - \sin^{2}\beta}\) to trójkąt ten jest trójkątem prostokątnym lub równoramiennym.
b) Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) są dwoma kątami ostrymi trójkąta i \(\displaystyle{ \sin\left(\alpha-\beta \right)= \sin^{2}\alpha - \sin^{2}\beta}\) to trójkąt ten jest trójkątem prostokątnym lub równoramiennym.
-
JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Tożsamość trygonometryczna, kąty w trójkącie
\(\displaystyle{ \sin\left(\alpha-\beta \right)= \sin^{2}\alpha - \sin^{2}\beta\\
\sin\left(\alpha-\beta \right)= \left(\sin\alpha-\sin\beta\right)\left(\sin\alpha+\sin\beta\right)\\
\sin\left(\alpha-\beta \right)= 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}\left(\sin\alpha+\sin\beta\right)\\
\sin\left(\alpha-\beta \right)= 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}\left(2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}\right)\\
\sin\left(\alpha-\beta \right)= 4\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}\\
\sin\left(\alpha-\beta \right)= \sin(\alpha-\beta)\sin(\alpha+\beta) \Rightarrow \alpha=90^\circ-\beta \vee \alpha = \beta}\)
\sin\left(\alpha-\beta \right)= \left(\sin\alpha-\sin\beta\right)\left(\sin\alpha+\sin\beta\right)\\
\sin\left(\alpha-\beta \right)= 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}\left(\sin\alpha+\sin\beta\right)\\
\sin\left(\alpha-\beta \right)= 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}\left(2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}\right)\\
\sin\left(\alpha-\beta \right)= 4\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}\\
\sin\left(\alpha-\beta \right)= \sin(\alpha-\beta)\sin(\alpha+\beta) \Rightarrow \alpha=90^\circ-\beta \vee \alpha = \beta}\)