Dziedzina nietypowej funkcji

tsotsi · Post autor: **tsotsi** » 20 lut 2010, o 19:10

Problem, który sam wymyśliłem. Nie wiem czy jest prosty czy trudny i do niczego nie potrzebuje rozwiązania, ale po prostu mnie zainteresowało.

Określ dziedzinę funkcji: \(\displaystyle{ f(x)=sin(x)^{sin(x)}}\)

Atraktor · Post autor: **Atraktor** » 20 lut 2010, o 19:46

x należy do rzeczywistych

Althorion · Post autor: **Althorion** » 20 lut 2010, o 20:27

Atraktor - nie bardzo.

Rozważ na przykład \(\displaystyle{ x=0}\) albo \(\displaystyle{ x = 4}\) (czy dowolne trochę większe od \(\displaystyle{ \pi}\)).

Dziedzina, tak "na oko" to liczby:
a) dla \(\displaystyle{ x > 0}\):
z przedziałów otwartych od parzystej do nieparzystej wielokrotności \(\displaystyle{ \pi}\)
b) dla \(\displaystyle{ x < 0}\):
z przedziałów otwartych od nieparzystej do parzystej wielokrotności \(\displaystyle{ \pi}\)

Z tym, że mogłem coś zaniedbać.

tsotsi · Post autor: **tsotsi** » 20 lut 2010, o 20:40

Dziedzina dokładnie wygląda tak (mój zapis też nie do końca "elegancki" pewnie ) :
dla \(\displaystyle{ x>0 : x \in (2k \pi ;(2k +1) \pi ) ; k=0,1,2,...}\)
dla \(\displaystyle{ x<0 : x \in (-2k \pi ;-(2k +1) \pi ) ; k=0,1,2,...}\)

Z tym, że nie bardzo wiem dlaczego tak jest i jak można to ściśle wykazać

Dudas · Post autor: **Dudas** » 20 lut 2010, o 20:52

Czy można to zrobić w następujący sposób?

\(\displaystyle{ sin(x)^{sin(x)} = e^{sin(x)*ln(sin(x))}}\)

I teraz wyznaczyć przedziały dla których \(\displaystyle{ sin(x) > 0}\); ponieważ logarytmowana musi być większa od zera?

Zastanawiam się czy tak można bo jeżeli rozpatrzymy funkcje : \(\displaystyle{ f(x) = x}\) oraz \(\displaystyle{ g(x) = \frac {x^2}{x} to
D_{f(x)} \ne D_{g(x)}}\), pomimo tego że \(\displaystyle{ \frac {x^2}{x} = x}\) (w \(\displaystyle{ g(x)}\) trzeba wyrzucić \(\displaystyle{ 0}\) z dziedziny)

tsotsi · Post autor: **tsotsi** » 20 lut 2010, o 21:16

No właśnie... To sprowadza się do pytania: Jakich przekształceń można dokonywać na wzorze funkcji tak, by funkcja opisana powstałym po przekształceniu wzorem była równa funkcji opisanej wzorem przed przekształceniem?

-- 20 lut 2010, o 21:44 --

Doszedłem teraz do pewnego wniosku w sumie, nie wiem czy słusznego. W przekształceniu: \(\displaystyle{ \frac {x^2}{x} = x}\) stosuje się założenie, że \(\displaystyle{ x\neq0}\) więc liczbę \(\displaystyle{ 0}\) należy automatycznie wyrzucić z dziedziny "nowopowstałej" funkcji. W przekształceniu: \(\displaystyle{ sin(x)^{sin(x)} = e^{sin(x)*ln(sin(x))}}\) nie są potrzebne żadne założenia, co do wartości, jakie może przyjmować \(\displaystyle{ x}\), więc dziedziny obu funkcji są na pewno równe. Jest to moim zdaniem wystarczające uzasadnienie poprawności Twojego (pomysłowego niewątpliwie ) rozwiązania.

Pozdrawiam

Atraktor · Post autor: **Atraktor** » 21 lut 2010, o 11:29

tsotsi pisze:
Doszedłem teraz do pewnego wniosku w sumie, nie wiem czy słusznego. W przekształceniu: \(\displaystyle{ \frac {x^2}{x} = x}\) stosuje się założenie, że \(\displaystyle{ x\neq0}\) więc liczbę \(\displaystyle{ 0}\) należy automatycznie wyrzucić z dziedziny "nowopowstałej" funkcji. W przekształceniu: \(\displaystyle{ sin(x)^{sin(x)} = e^{sin(x)*ln(sin(x))}}\) nie są potrzebne żadne założenia, co do wartości, jakie może przyjmować \(\displaystyle{ x}\), więc dziedziny obu funkcji są na pewno równe. Jest to moim zdaniem wystarczające uzasadnienie poprawności Twojego (pomysłowego niewątpliwie ) rozwiązania.

Pozdrawiam

nie do końca, dziedzina będzie z pewnością większa, ponieważ funkcja logarytmiczna wyrzuca nam wartości ujemne sin(x). A w zaproponowanej przez ciebie funkcji do dziedziny na pewno należy \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{2}}\). Moim zdaniem nie da jednoznacznie określić się dziedziny, ponieważ będzie tutaj nieskończony zbiór punktów.

Andreas · Post autor: **Andreas** » 22 lut 2010, o 22:19

a czy dziedziną nie są te przedziały dla których sin(x)>0?

Rogal · Post autor: **Rogal** » 22 lut 2010, o 23:09

Ależ kombinujecie. Wiadomo, że dziedziną funkcji typu potęgowego nie może być liczba niedodatnia. Również wykonanie przekształcenia do postaci funkcji wykładniczej jest poprawne.

tsotsi · Post autor: **tsotsi** » 23 lut 2010, o 21:35

Hm... To może ktoś to podsumuje jakos bo juz sam nie wiem jak to jest

Atraktor · Post autor: **Atraktor** » 24 lut 2010, o 11:40

Rogal, jak nie może być liczbą nie dodatnia? Może byś ale to zależy w jakich warunkach. chodź by i nawet -1^(-1).

Rogal · Post autor: **Rogal** » 24 lut 2010, o 14:43

A co wtedy z \(\displaystyle{ (-1)^{\pi}, \ (-5)^{\sqrt{2}}?}\)
Funkcja ma być rzeczywista, nie dyskretna, więc nie ma się co bawić w pojedyncze punkty całkowite ujemne, bo już nawet dla wymiernych nie da się zdefiniować.