Rozwiąż równanie

[suspectnick]

Rozwiąż równanie: \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{\cos x} + \sqrt{3} - 1 = \frac{\sqrt{3} \cos x}{\sin x}}\) dla \(\displaystyle{ x \in (0,2 \pi)}\)

[dzidka]

najpierw wyznaczasz dziedzinę \(\displaystyle{ cosx \neq 0 \wedge sinx \neq 0}\)
można zastapić \(\displaystyle{ \frac{sinx}{cosx}}\)tangensem
otrzymasz równanie
\(\displaystyle{ tgx+ \sqrt{3}-1= \frac{ \sqrt{3} }{tgx}}\)
Obustronnie mnożysz przez tgx
Otrzymujesz równanie
\(\displaystyle{ tg^{2}x+( \sqrt{3} -1)tgx- \sqrt{3}=0}\)
jest to równanie kwadratowe, liczysz deltę
\(\displaystyle{ \Delta=( \sqrt{3} -1)^{2}+4 \sqrt{3}= 3-2 \sqrt{3}+1 +4 \sqrt{3}= 3+2 \sqrt{3}+1=( \sqrt{3} +1)^{2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}= \sqrt{3}+1}\)
wyznaczasz \(\displaystyle{ tgx_{1}=-1}\)
czyli \(\displaystyle{ x= \frac{3}{4} \pi , x= \frac{7}{4} \pi}\)
wyznaczasz \(\displaystyle{ tgx_{2}= \sqrt{3}}\)
czyli \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{3} \pi , x= \frac{4}{3} \pi}\)

[suspectnick]

Jesteś pewna tego wyniku? Wg moich obliczeń powinno wyjść:
\(\displaystyle{ x_{1}=1}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=- \sqrt{3}}\)

[Lbubsazob]

\(\displaystyle{ tgx+ \sqrt{3}-1= \frac{ \sqrt{3} }{tgx}/\cdot tgx \\
tg^2x+ \sqrt{3}tgx-tgx= \sqrt{3} \\
tg^2x+( \sqrt{3}-1)tgx- \sqrt{3}=0 \\
\Delta=(3-2 \sqrt{3}+1)+4 \sqrt{3}=3+4 \sqrt{3} +1=( \sqrt{3}+1)^2 \\
\sqrt{\Delta}= \sqrt{3}+1 \\
tgx_1= \frac{- \sqrt{3}+1- \sqrt{3}-1 }{2}=- \sqrt{3} \\
tgx_2= \frac{- \sqrt{3} +1+ \sqrt{3}+1 }{2}=1}\)

Dlatego:
\(\displaystyle{ x_1= \frac{2}{3}\pi (120^\circ) \\
x_2= \frac{5}{3}\pi (300^\circ) \\
x_3= \frac{\pi}{4} (45^\circ) \\
x_4= \frac{5}{8}\pi (225^\circ)}\)

[dzidka]

musiałam się pomylić sorry