równanie z cosinusem

animashi · Post autor: **animashi** » 16 lut 2010, o 20:45

Rozwiąż równanie

\(\displaystyle{ \frac{4}{\cos^{2}3x+4}=2-\frac{5}{\cos^{2}3x+5}}\)

gdzie \(\displaystyle{ x\in\langle0,\pi\rangle}\)

Althorion · Post autor: **Althorion** » 16 lut 2010, o 20:52

\(\displaystyle{ t = \cos^2 3x \wedge t \in \left< 0, 1 \right> \\
\frac{4}{t + 4} = 2 - \frac{5}{t+5} \wedge t \in \left< 0, 1 \right> \\
t \in \left\{ - \frac{9}{2}; 0 \right\} \wedge t \in \left< 0, 1 \right> \\
t = 0 \\ \cos^2 3x = 0 \wedge x\in\langle0,\pi\rangle \\
x = \ldots}\)

animashi · Post autor: **animashi** » 16 lut 2010, o 21:22

wielkie dzieki, ale jak wyliczyc teraz x, skoro tam jest cosinus potrojonego kata i jeszcze do kwadratu?

Althorion · Post autor: **Althorion** » 17 lut 2010, o 09:41

Ale równy zero, a to dużo ułatwia.
Popatrz:
\(\displaystyle{ x \in \left< 0, \pi \right> \Rightarrow \cos x \in \left< 0, 1 \right> \\
\cos^2 3x = 0 \\ \cos 3x = 0 \\ 3x = \pi \\ x = \frac{\pi}{3}}\)