Wyznacz wszytskie rozwiązania równania

[michal91d]

Wyznacz wszystkie rozwiązania równania \(\displaystyle{ \frac{1}{\tg x}-\cos x=\frac{1-\sin x}{2\sin x}}\) należące do przedziału \(\displaystyle{ (0,2\pi)}\).

Proszę o pomoc, na jutro muszę to zadanie zrobić a w ogóle nie mam pojęcia jak się za to zabrać.

[lukasz1804]

Z założenia mamy \(\displaystyle{ \sin x\ne 0}\) oraz \(\displaystyle{ \cos x\ne 0}\). Dostajemy równoważnie \(\displaystyle{ 2\cos x-2\sin x\cos x=1-\sin x}\), skąd \(\displaystyle{ 2\cos x(1-\sin x)=1-\sin x}\), tj. \(\displaystyle{ (1-\sin x)(2\cos x-1)=0}\), czyli \(\displaystyle{ \sin x=1}\) lub \(\displaystyle{ \cos x=\frac{1}{2}}\). Zauważmy, że jeśli zachodzi którykolwiek z otrzymanych warunków, to na pewno \(\displaystyle{ \sin x\ne 0}\) oraz \(\displaystyle{ \cos x\ne 0}\), czyli spełnione są też początkowe założenia.
Zatem mamy \(\displaystyle{ \sin x=1}\) lub \(\displaystyle{ \cos x=\frac{1}{2}}\), skąd \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{3}, x=\frac{\pi}{2}}\) lub \(\displaystyle{ x=\frac{5}{3}\pi}\).