Równanie z arctg

[sminka2]

\(\displaystyle{ arctg(x-2)-arctg(x-1)=\frac{\pi}{4}}\)


Pomocy!

Rozumiem, że należy rozwiązać to równanie- polecenie chyba jest istotne.

-- 16 lut 2010, o 13:47 --

Tak, chodzi o rozwiązanie tego równania. Byłabym wdzięczna za jakąkolwiek pomoc.

[W_Zygmunt]

Funkcja \(\displaystyle{ f(x)\,=\,\arctan(x)}\) jest rosnąca więc
ponieważ \(\displaystyle{ x - 2\, <\, x - 1}\) to \(\displaystyle{ f(x - 2)\, < \,f(x - 1)}\)
zatem
\(\displaystyle{ \arctan(x - 2) - \arctan(x - 1) < 0}\) dla każdego x .
Czyli równanie nie ma rozwiązania.

[eeria]

To zadanie ma błąd w poleceniu.
Powinno być:
\(\displaystyle{ arctg(x+2)-arctg(x+1)=\frac{\pi}{4}}\)

Zapewne trzeba tu coś podstawić. Gdyby uznać, że:
arctg(x+2)=a
arctg(x+1)=b
równanie miałoby postać:
\(\displaystyle{ a-b=\frac{\pi}{4}}\)
Gdyby stangensować obie strony: (czy tak w ogóle można?, bo nie jestem pewna...)
\(\displaystyle{ tg(arctg(x+2)=x+2}\)
\(\displaystyle{ tg(arctg(x+1)=x+1}\), więc:
\(\displaystyle{ x+2-(x+1)=tg\frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ x+2-x-1=1}\)
\(\displaystyle{ 1=1}\)
Czyli nic nie wychodzi. Pomyślałam, żeby tego nie podstawiać i zostać przy formie tangensów:
\(\displaystyle{ tga-tgb=tg\frac{\pi}{4}}\)
Stosuję wzór na różnicę tangensów:
\(\displaystyle{ \frac{\sin(a-b)}{cosa*cosb}=tg\frac{\pi}{4}}\)
Skoro:
\(\displaystyle{ a-b=\frac{\pi}{4}}\), to:
\(\displaystyle{ \frac{sin\frac{\pi}{4}}{cosa*cosb}=\frac{\sin\frac{\pi}{4}}{cos\frac{\pi}{4}}}\)
Mnożymy obustronnie przez:
\(\displaystyle{ \frac{1}{sin\frac{\pi}{4}}}\)
Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ cosa*cosb=cos\frac{\pi}{4}}\)
No i więcej chyba nie wymyślę... Można prosić o jakąś wskazówkę, jak zrobić to zadanie?

[W_Zygmunt]

Błąd podstawowy:
\(\displaystyle{ \tan(\alpha - \beta ) \neq \tan(\alpha ) - \tan(\beta )}\)

Przedstaw równanie w postaci
\(\displaystyle{ \arctan(x + 2)\,=\,\arctan(x + 1) + \frac{\pi}{4}}\)
"Stangensuj" obustronnie i zastosuj wzór na tangens sumy
\(\displaystyle{ \tan(a + b)\,=\,\frac{ \tan(a) + \tan(b) }{ 1 - \tan(a)\cdot \tan(b) }}\)
Wyjdzie
\(\displaystyle{ x + 2\,=\,\frac{ x + 2 }{ - x }}\)