przekątne pewnego prostokąta

dusiek91 · Post autor: **dusiek91** » 14 lut 2010, o 20:45

przekątne pewnego prostokąta przecinają się pod kątem 60 stopni. Oblicz stosunek długości boków tego prostokąta.

Lbubsazob · Post autor: **Lbubsazob** » 14 lut 2010, o 20:52

Zależności jak w trójkącie równobocznym.
Przekątna ma długość x.
Krótszy bok ma długość \(\displaystyle{ \frac{x}{2}}\).
Dłuższy bok ma długość \(\displaystyle{ \frac{x \sqrt{3} }{2}}\).

Zatem stosunek długości będzie wynosił \(\displaystyle{ \frac{ \frac{x}{2} }{ \frac{x \sqrt{3} }{2} }= \frac{x}{x \sqrt{3} }= \frac{1}{ \sqrt{3} } = \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)

dusiek91 · Post autor: **dusiek91** » 14 lut 2010, o 21:01

ale skąd się wzięło x/2 ?? lub x sqrt{3} /2 ??

Lbubsazob · Post autor: **Lbubsazob** » 14 lut 2010, o 21:09

Z zależności w trójkącie równobocznym.
Jeżeli trójkąt prostokątny ma 1 kąt o mierze 60, to ten trzeci musi mieć 30, więc traktujemy to jak trójkąt równoboczny przecięty na pół. Przekątna tego prostokąta to bok tego trójkąta, więc krótszy bok prostokąta jest połową boku trójkąta.
\(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{2}}\) to wzór na wysokość w trójkącie równobocznym.