Wśród trapezów równoramiennych o stałym obwodzie 2p i kącie przy podstawie równym 30 stopni wskaż ten, który ma największe pole. Podaj długości boków tego trapezu.
Zadanie pochodzi ze zbioru Dróbka, Szymański dla kl.3 szkoły średniej. W odpowiedzi musi być p.
Z góry dzięki za odpowiedź.
Długości boków trapeza.
-
rodzyn7773
- Użytkownik
- Posty: 1659
- Rejestracja: 12 lip 2009, o 10:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice/Rawa Maz.
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 278 razy
Długości boków trapeza.
Utwórzmy funkcję opisującą pole trapezu od zmiennej c (ramię trapezu). Wiemy, że:
\(\displaystyle{ 2p=2c+a+b}\) (a, b podstawy trapezu).
\(\displaystyle{ P= \frac{a+b}{2}*h}\)
Z pierwszego wzoru wyznaczmy połowę sumy długości podstaw:
\(\displaystyle{ a+b=2p-2c \\ \frac{a+b}{2}=p-c}\)
Wyznaczmy dziedzinę (oczywiście a, b, c>0):
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}>0 \\ p-c>0 \\ c<p}\)
Znając kąt przy podstawie wyznaczmy wysokość trapezu za pomocą zmiennej c:
\(\displaystyle{ sin \frac{\pi}{6}= \frac{1}{2} = \frac{h}{c} \\ h= \frac{c}{2}}\)
Podstawiamy to co wyznaczyliśmy do wzoru na pole:
\(\displaystyle{ P(c)=(p-c)* \frac{c}{2} = -\frac{1}{2} c(c-p)}\)
I tu jest problem bo mi nie wyszło tak jak w odpowiedzi a wydaje mi się, że dobrze to robię. Niech jakieś fachowe oko spojrzy na to i oceni. Może w odpowiedzi jest błąd.
\(\displaystyle{ 2p=2c+a+b}\) (a, b podstawy trapezu).
\(\displaystyle{ P= \frac{a+b}{2}*h}\)
Z pierwszego wzoru wyznaczmy połowę sumy długości podstaw:
\(\displaystyle{ a+b=2p-2c \\ \frac{a+b}{2}=p-c}\)
Wyznaczmy dziedzinę (oczywiście a, b, c>0):
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}>0 \\ p-c>0 \\ c<p}\)
Znając kąt przy podstawie wyznaczmy wysokość trapezu za pomocą zmiennej c:
\(\displaystyle{ sin \frac{\pi}{6}= \frac{1}{2} = \frac{h}{c} \\ h= \frac{c}{2}}\)
Podstawiamy to co wyznaczyliśmy do wzoru na pole:
\(\displaystyle{ P(c)=(p-c)* \frac{c}{2} = -\frac{1}{2} c(c-p)}\)
I tu jest problem bo mi nie wyszło tak jak w odpowiedzi a wydaje mi się, że dobrze to robię. Niech jakieś fachowe oko spojrzy na to i oceni. Może w odpowiedzi jest błąd.
-
piasek101
- Użytkownik
- Posty: 23497
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3265 razy
Długości boków trapeza.
Już mam to ,,puszczam" :
2a; 2b; c; h - podstawy (krótsza, dłuższa); ramię; wysokość
Z trójkąta prostokątnego (na ,,brzegu" trapezu) :
\(\displaystyle{ h=(b-a)tg30}\) oraz \(\displaystyle{ (b-a)=c\cdot cos 30}\)
z treści \(\displaystyle{ a+b+c=p}\)
Pole to :
\(\displaystyle{ P=(a+b)h}\)
(do tego wstawić wyznaczone (h) potem (a+b) oraz (a-b); dostaniesz P(c) i szukasz jej max).
[edit] Wcześniejszego dokładnie nie sprawdzałem - wygląda na to, że jest OK.
Autor pierwszego posta miał chyba na myśli, że w odpowiedzi występuje (p) , a samej odpowiedzi nie podał.
2a; 2b; c; h - podstawy (krótsza, dłuższa); ramię; wysokość
Z trójkąta prostokątnego (na ,,brzegu" trapezu) :
\(\displaystyle{ h=(b-a)tg30}\) oraz \(\displaystyle{ (b-a)=c\cdot cos 30}\)
z treści \(\displaystyle{ a+b+c=p}\)
Pole to :
\(\displaystyle{ P=(a+b)h}\)
(do tego wstawić wyznaczone (h) potem (a+b) oraz (a-b); dostaniesz P(c) i szukasz jej max).
[edit] Wcześniejszego dokładnie nie sprawdzałem - wygląda na to, że jest OK.
Autor pierwszego posta miał chyba na myśli, że w odpowiedzi występuje (p) , a samej odpowiedzi nie podał.