Witam!
Polecenie: wyznacz wszystkie wartości m dla których równanie, ma co najmniej jedno rozwiązanie
\(\displaystyle{ sin ^{4}x -cos ^{4}x=6m - cos ^{2}2x}\)
rozwiązuję:
\(\displaystyle{ -(sin ^{2}x+cos ^{2}x) (cos ^{2}x-sin ^{2}x)= 6m - cos ^{2}2x}\)
\(\displaystyle{ cos ^{2}2x - cos2x -6m = 0}\)
Podstawiam:
\(\displaystyle{ t=cos2x \ t \in <-1,1>}\)
mam równanie kwadratowe z parametrem:
\(\displaystyle{ t ^{2} - t + 6m = 0}\)
rozrysowywuje sobie na osi i robię założenia
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \Delta \ge 0 \\f(-1) \ge 0\\f(1) \ge 0 \end{array}}\)
Wynik wychodzi:
\(\displaystyle{ m \in < -\frac{1}{24}, 0>}\)
a powinien \(\displaystyle{ m \in < -\frac{1}{24}, \frac{1}{3} >}\)
równanie trygonometryczne z parametrem - co robię źle ?
-
rodzyn7773
- Użytkownik
- Posty: 1659
- Rejestracja: 12 lip 2009, o 10:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice/Rawa Maz.
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 278 razy
równanie trygonometryczne z parametrem - co robię źle ?
ja bym to zrobił na 2 przypadki
I \(\displaystyle{ \Delta=0}\) czyli jeden pierwiastek t wierzchołkowe musi należeć do przedziału <-1,1>. Do sprawdzenia.
II\(\displaystyle{ \Delta>0}\)
Wtedy nasze równanie ze zmienną t ma 2 pierwiastki, ale żeby równanie \(\displaystyle{ cos2x=t_0}\) miało rozwiązanie wystarczy aby 1 pierwiastek tego równania należał do przedziału <-1,1> .
Należy założyć:
1) \(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ f(-1)>0 \\ f(1)>0 \end{cases}}\) - wtedy mamy 2 pierwiastki należące do przedziału <-1,1>
2)\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ f(-1)<0 \\ f(1)>0 \end{cases}}\) - wtedy jeden z pierwiastków (ten większy) należy do przedziału <-1,1>
3)\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ f(-1)>0 \\ f(1)<0 \end{cases}}\) - wtedy jeden z pierwiastków (ten mniejszy) należy do przedziału <-1,1>
Nie sprawdzałem zgodności z odpowiedzią ale wydaje mi się, że tak powinno być.
I \(\displaystyle{ \Delta=0}\) czyli jeden pierwiastek t wierzchołkowe musi należeć do przedziału <-1,1>. Do sprawdzenia.
II\(\displaystyle{ \Delta>0}\)
Wtedy nasze równanie ze zmienną t ma 2 pierwiastki, ale żeby równanie \(\displaystyle{ cos2x=t_0}\) miało rozwiązanie wystarczy aby 1 pierwiastek tego równania należał do przedziału <-1,1> .
Należy założyć:
1) \(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ f(-1)>0 \\ f(1)>0 \end{cases}}\) - wtedy mamy 2 pierwiastki należące do przedziału <-1,1>
2)\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ f(-1)<0 \\ f(1)>0 \end{cases}}\) - wtedy jeden z pierwiastków (ten większy) należy do przedziału <-1,1>
3)\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ f(-1)>0 \\ f(1)<0 \end{cases}}\) - wtedy jeden z pierwiastków (ten mniejszy) należy do przedziału <-1,1>
Nie sprawdzałem zgodności z odpowiedzią ale wydaje mi się, że tak powinno być.