trygonometria poziom rozszerzony

musuliene · Post autor: **musuliene** » 11 lut 2010, o 20:56

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ m}\), dla których równanie
\(\displaystyle{ \sin ^{4} x - \cos ^{4} x = 6m - \cos ^{2} 2x}\)
ma co najmniej jedno rozwiązanie.

florek177 · Post autor: **florek177** » 11 lut 2010, o 21:15

rozpisz cosinus podwójnego kąta, podnieś do kwadratu, zredukuj funkcje, wyciągnij przed nawias wspólny podwojony kwadrat sinusa ; zastosuj jedynkę tryg. do nawiasu.
Mnie z pierwszego szybkiego liczenia wyszło: \(\displaystyle{ sin^{2}(x) = 2 \, m}\)

Shameyka · Post autor: **Shameyka** » 11 lut 2010, o 21:18

\(\displaystyle{ (sin^{2}x+cos^{2}x)(sin^{2}x-cos^{2}x)=6m-cos^{2}2x}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}x-cos^{2}x=6m-cos^{2}2x}\)
\(\displaystyle{ cos^{2}x-sin^{2}x=cos^{2}2x-6m}\)
\(\displaystyle{ cos^{2}2x-cos{2}x=6m}\)
\(\displaystyle{ cos2x(cos2x-1)=6m}\)
podstaw parametr pod \(\displaystyle{ cos2x}\)
i narysuj wykres funkcji\(\displaystyle{ f(x)=t^{2}-t}\) potem oblicz dla jakiego 6m rownanie a to co tam chcesz:)

musuliene · Post autor: **musuliene** » 11 lut 2010, o 21:20

Chyba to szybkie wyliczenie złe jest, bo w odpowiedzi jest \(\displaystyle{ m \in < \frac{-1}{24} ; \frac{1}{3} >}\) a do tego tą drogą chyba nei dojde. byłbym wdzięczny, gdybyś mógł rozpisać to zadanie, bo powiem szczerze, ze jutro mam spr i podobne zadanie na pewno bedzie

Shameyka · Post autor: **Shameyka** » 11 lut 2010, o 21:24

a co jest trudnego w drugim sposobie??tylko pamietaj ze \(\displaystyle{ cos2x \in <-1,1>}\)

musuliene · Post autor: **musuliene** » 11 lut 2010, o 21:25

napisałem to przed Twoja odpowiedzia. dzieki wielkie, wlasnie rozwiazuje, jak napisze to powiem czy jest ok -- 11 lutego 2010, 22:36 --zacząłem to robić, ale niestety zatrzymałem się na tym co napisałeś. Czy mógłbyś napisać co mam zrobić po tym jak narysowałem wykres ????

Shameyka · Post autor: **Shameyka** » 11 lut 2010, o 22:58

napisalam ale usunal taki jeden... musisz obliczyc wierzcholek i wynosi on \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) musisz obliczyc wartosc od niego i wychodzi \(\displaystyle{ -\frac{1}{4}}\) x wierzcholka musi byc 6m> \(\displaystyle{ - \frac{1}{4} \Rightarrow m>- \frac{1}{24}}\) nastepnie z warunku ze \(\displaystyle{ cos2x \in <-1,1>}\)\(\displaystyle{ f(-1)<6m}\)od -1 bo jest dalej od wierzcholka widzisz to pewnie z rysunku ze tak wiec \(\displaystyle{ f(-1)=2 \Rightarrow m< \frac{1}{2}}\)

__________________
"Taki jeden" usunął, bo zapis był bez LaTeX-a, co zresztą jest napisane w poście.

Pozdrawiam,
miki999

musuliene · Post autor: **musuliene** » 11 lut 2010, o 23:10

Ten pierwszy warunek rozumiem, tylko pomyliłeś się z tym, że większe od -1/4, bo ma być wieksze bądź równe.

Ale niestety drugiego nie rozumiem warunku, że cos2x nalezy od -1 do 1 to wiem, logiczne, ale dalej juz nie łape

Shameyka · Post autor: **Shameyka** » 11 lut 2010, o 23:14

tak zgadza sie z pospiechu ale wszedzie wieksze badź rowne!!! a drugi wynika z dziedziny wyobraź sobie wykres cos2x jaki jest jego zbior wartosci??? wlasnie \(\displaystyle{ t \in <-1,1>}\)

musuliene · Post autor: **musuliene** » 11 lut 2010, o 23:16

Czyli po prostu musimy wyliczyc najwieksza wartosc z przedzialu -1, 1, juz mniej wiecej rozumiem. Dziekuje!!!!!

Shameyka · Post autor: **Shameyka** » 11 lut 2010, o 23:20

tak tak tak no a ze masz parametr to twoja dziedzina sa 'y' funkcji pierwotnej czyli tutaj cos2x