Trudne równanie trygonometryczne

[sebolek1991]

Cześć Wam. Mam takie równanie do rozwiązania:

\(\displaystyle{ sinx-cosx+1=sinxcosx}\)

Wyliczam \(\displaystyle{ sinx= \sqrt{1-cos ^{2}x }}\) z jedynki trygonometrycznej, żeby ujednolicić równanie do jednej funkcji.

Podstawiam:

\(\displaystyle{ \sqrt{1-cos ^{2}x } - cosx+1 - (\sqrt{1-cos ^{2}x })cosx=0}\)

Podnoszę dwie strony równania do kwadratu:

\(\displaystyle{ 1-cos ^{2}x -cos ^{2}x +1+cos ^{3}x =0}\)

\(\displaystyle{ cos ^{3}x -2cos ^{2}x -cosx+2=0}\)

Podstawiam \(\displaystyle{ cosx=t}\)

\(\displaystyle{ t ^{3} -2t ^{2}-t+2=0}\)

\(\displaystyle{ t=1, t=-1, t=2}\)

\(\displaystyle{ cosx=-1, cosx=1, cosx=2}\)

\(\displaystyle{ cosx=2}\) odrzucamy bo zbiór wartości funkcji cosinus zawiera się w przedziale \(\displaystyle{ (-1,1)}\)

więc \(\displaystyle{ x=kpi, x=2kpi, k \in C}\)

W odpowiedziach jest, że powinno być \(\displaystyle{ x=2kpi lub x=- \frac{pi}{2} +2kpi, k \in C}\)

Byłbym wdzięczny za wskazanie błędu.

[Smażony Ogórek]

\(\displaystyle{ sinx-cosx+1=sinx cosx}\)

\(\displaystyle{ sinx-sinxcosx-cosx+1=0}\)

\(\displaystyle{ sinx+1-cosx(sinx+1)=0}\)

\(\displaystyle{ (sinx+1)(1-cosx)=0}\)

więc \(\displaystyle{ sinx+1=0 \ \vee \ 1-cosx=0}\)

a co do Twojego to "śliskim" momentem jest podnoszenie do kwadratu